Exercicis d'EDO lineals d'ordre superior

Pas 1 — equació característica. Substituint $y = e^{rx}$ i dividint per l'exponencial:

$r^{2} + 7r + 12 = 0$

Les arrels són $r_1 = -3$ i $r_2 = -4$.

Pas 2 — solució general.

$y = A e^{-3x} + B e^{-4x}$

Pas 3 — imposar les dues dades. A $x = 0$ les exponencials valen $1$, o sigui

$A + B = 0, \qquad -3A - 4B = 1$

(la segona surt de derivar primer i després substituir, mai al revés). Resolent el sistema, $A = 1$ i $B = -1$.

$y(x) = \left(e^{x} - 1\right) e^{- 4 x}$

Pas 1 — derivar l'assaig. Si $y_p = Ae^{-3x}$, aleshores $y_p' = -3Ae^{-3x}$ i $y_p'' = 9Ae^{-3x}$.

Pas 2 — substituir. Tots els termes porten $e^{-3x}$, que se simplifica:

$\left(9 + 1\right)A = 1$

El parèntesi val $10$, o sigui

$A = \frac{1}{10} = \frac{1}{10} \approx 0.1000$

Com que el parèntesi no és zero, $-3$ no és arrel característica i no hi ha ressonància: l'assaig directe era correcte.

Pas 1 — equació característica. Substituint $y = e^{rx}$ i dividint per l'exponencial:

$r^{2} + 7r + 12 = 0$

Les arrels són $r_1 = -3$ i $r_2 = -4$.

Pas 2 — solució general.

$y = A e^{-3x} + B e^{-4x}$

Pas 3 — imposar les dues dades. A $x = 0$ les exponencials valen $1$, o sigui

$A + B = 1, \qquad -3A - 4B = 0$

(la segona surt de derivar primer i després substituir, mai al revés). Resolent el sistema, $A = 4$ i $B = -3$.

$y(x) = \left(4 e^{x} - 3\right) e^{- 4 x}$

Pas 1 — derivar l'assaig. Si $y_p = Ae^{-3x}$, aleshores $y_p' = -3Ae^{-3x}$ i $y_p'' = 9Ae^{-3x}$.

Pas 2 — substituir. Tots els termes porten $e^{-3x}$, que se simplifica:

$\left(9 + 3 \cdot (-3) + 2\right)A = 1$

El parèntesi val $2$, o sigui

$A = \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \approx 0.5000$

Com que el parèntesi no és zero, $-3$ no és arrel característica i no hi ha ressonància: l'assaig directe era correcte.

Pas 1 — equació característica. Substituint $y = e^{rx}$ i dividint per l'exponencial:

$r^{2} + 7r + 12 = 0$

Les arrels són $r_1 = -3$ i $r_2 = -4$.

Pas 2 — solució general.

$y = A e^{-3x} + B e^{-4x}$

Pas 3 — imposar les dues dades. A $x = 0$ les exponencials valen $1$, o sigui

$A + B = 2, \qquad -3A - 4B = 1$

(la segona surt de derivar primer i després substituir, mai al revés). Resolent el sistema, $A = 9$ i $B = -7$.

$y(x) = \left(9 e^{x} - 7\right) e^{- 4 x}$

Pas 1 — derivar l'assaig. Si $y_p = Ae^{-3x}$, aleshores $y_p' = -3Ae^{-3x}$ i $y_p'' = 9Ae^{-3x}$.

Pas 2 — substituir. Tots els termes porten $e^{-3x}$, que se simplifica:

$\left(9 - 1 \cdot (-3) - 2\right)A = 1$

El parèntesi val $10$, o sigui

$A = \frac{1}{10} = \frac{1}{10} \approx 0.1000$

Com que el parèntesi no és zero, $-3$ no és arrel característica i no hi ha ressonància: l'assaig directe era correcte.

Pas 1 — equació característica. Substituint $y = e^{rx}$ i dividint per l'exponencial:

$r^{2} - 5r + 4 = 0$

Les arrels són $r_1 = 1$ i $r_2 = 4$.

Pas 2 — solució general.

$y = A e^{x} + B e^{4x}$

Pas 3 — imposar les dues dades. A $x = 0$ les exponencials valen $1$, o sigui

$A + B = 0, \qquad A + 4B = 1$

(la segona surt de derivar primer i després substituir, mai al revés). Resolent el sistema, $A = - \frac{1}{3}$ i $B = \frac{1}{3}$.

$y(x) = \frac{\left(e^{3 x} - 1\right) e^{x}}{3}$

Pas 1 — derivar l'assaig. Si $y_p = Ae^{-3x}$, aleshores $y_p' = -3Ae^{-3x}$ i $y_p'' = 9Ae^{-3x}$.

Pas 2 — substituir. Tots els termes porten $e^{-3x}$, que se simplifica:

$\left(9 + 1\right)A = 2$

El parèntesi val $10$, o sigui

$A = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \approx 0.2000$

Com que el parèntesi no és zero, $-3$ no és arrel característica i no hi ha ressonància: l'assaig directe era correcte.

Pas 1 — equació característica. Substituint $y = e^{rx}$ i dividint per l'exponencial:

$r^{2} - 5r + 4 = 0$

Les arrels són $r_1 = 1$ i $r_2 = 4$.

Pas 2 — solució general.

$y = A e^{x} + B e^{4x}$

Pas 3 — imposar les dues dades. A $x = 0$ les exponencials valen $1$, o sigui

$A + B = 1, \qquad A + 4B = 0$

(la segona surt de derivar primer i després substituir, mai al revés). Resolent el sistema, $A = \frac{4}{3}$ i $B = - \frac{1}{3}$.

$y(x) = \frac{\left(4 - e^{3 x}\right) e^{x}}{3}$

Pas 1 — derivar l'assaig. Si $y_p = Ae^{-3x}$, aleshores $y_p' = -3Ae^{-3x}$ i $y_p'' = 9Ae^{-3x}$.

Pas 2 — substituir. Tots els termes porten $e^{-3x}$, que se simplifica:

$\left(9 + 3 \cdot (-3) + 2\right)A = 2$

El parèntesi val $2$, o sigui

$A = \frac{2}{2} = 1$

Com que el parèntesi no és zero, $-3$ no és arrel característica i no hi ha ressonància: l'assaig directe era correcte.