Exercicis d'EDO lineals d'ordre superior

Pas 1 — equació característica. Substituint $y = e^{rx}$ i dividint per l'exponencial:

$r^{2} + 3r - 10 = 0$

Les arrels són $r_1 = 2$ i $r_2 = -5$.

Pas 2 — solució general.

$y = A e^{2x} + B e^{-5x}$

Pas 3 — imposar les dues dades. A $x = 0$ les exponencials valen $1$, o sigui

$A + B = 2, \qquad 2A - 5B = 1$

(la segona surt de derivar primer i després substituir, mai al revés). Resolent el sistema, $A = \frac{11}{7}$ i $B = \frac{3}{7}$.

$y(x) = \frac{\left(11 e^{7 x} + 3\right) e^{- 5 x}}{7}$

Pas 1 — equació característica. Substituint $y = e^{rx}$ i dividint per l'exponencial:

$r^{2} - r - 12 = 0$

Les arrels són $r_1 = 4$ i $r_2 = -3$.

Pas 2 — solució general.

$y = A e^{4x} + B e^{-3x}$

Pas 3 — imposar les dues dades. A $x = 0$ les exponencials valen $1$, o sigui

$A + B = 0, \qquad 4A - 3B = 1$

(la segona surt de derivar primer i després substituir, mai al revés). Resolent el sistema, $A = \frac{1}{7}$ i $B = - \frac{1}{7}$.

$y(x) = \frac{\left(e^{7 x} - 1\right) e^{- 3 x}}{7}$

Pas 1 — equació característica. Substituint $y = e^{rx}$ i dividint per l'exponencial:

$r^{2} - r - 12 = 0$

Les arrels són $r_1 = 4$ i $r_2 = -3$.

Pas 2 — solució general.

$y = A e^{4x} + B e^{-3x}$

Pas 3 — imposar les dues dades. A $x = 0$ les exponencials valen $1$, o sigui

$A + B = 1, \qquad 4A - 3B = 0$

(la segona surt de derivar primer i després substituir, mai al revés). Resolent el sistema, $A = \frac{3}{7}$ i $B = \frac{4}{7}$.

$y(x) = \frac{\left(3 e^{7 x} + 4\right) e^{- 3 x}}{7}$

Pas 1 — equació característica. Substituint $y = e^{rx}$ i dividint per l'exponencial:

$r^{2} - r - 12 = 0$

Les arrels són $r_1 = 4$ i $r_2 = -3$.

Pas 2 — solució general.

$y = A e^{4x} + B e^{-3x}$

Pas 3 — imposar les dues dades. A $x = 0$ les exponencials valen $1$, o sigui

$A + B = 2, \qquad 4A - 3B = 1$

(la segona surt de derivar primer i després substituir, mai al revés). Resolent el sistema, $A = 1$ i $B = 1$.

$y(x) = \left(e^{7 x} + 1\right) e^{- 3 x}$