Biblioteca de 108 exercicis de 3 tipus diferents, de 10 en 10: els del mateix tipus canvien les dades. Escriu la resposta, comprova-la i, si falla, mira les pistes abans de rendir-te.
Quina és la negació correcta de «Tots els alumnes han aprovat»?
Pista 1.
Canvia cada quantificador i nega el predicat final.
Pista 2.
La negació d'una implicació és una conjunció: antecedent cert i conseqüent fals.
Com es fa
L'enunciat original. «Tots els alumnes han aprovat».
La regla. Es recorren els quantificadors d'esquerra a dreta canviant-los tots, i al final es nega el predicat aplicant De Morgan i la regla de la implicació on calgui.
En aquest cas: la negacio d'un universal es un existencial amb el predicat negat, no un universal negatiu.
La negació correcta és: Existeix un alumne que no ha aprovat.
Una comprovació molt útil: l'enunciat i la seva negació han de tenir valors de veritat oposats en qualsevol situació. Si trobes un cas on tots dos són certs, o tots dos falsos, la negació és incorrecta.
Compte amb això.
Negar només el predicat i deixar el quantificador tal com estava.
Exercici 2
Amb p cert i q cert, quant val p⇒q? Escriu 1 si és cert i 0 si és fals.
Escriu només el número. Si no és enter, posa tres o quatre decimals.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
Recorda que la implicació només és falsa amb antecedent cert i conseqüent fals.
Pista 2.
Avalua de dins cap a fora: primer les negacions, després la resta.
Com es fa
Substituint. Amb p cert i q cert, la fórmula p⇒q val cert, o sigui 1.
El connectiu que cal vigilar. La implicació només és falsa quan l'antecedent és cert i el conseqüent és fals. Si l'antecedent és fals, la implicació és certa passi el que passi amb el conseqüent. Sobta la primera vegada, però és exactament el que fa que els teoremes amb hipòtesis funcionin: un teorema no afirma res sobre els casos que no compleixen les hipòtesis.
Truc útil:p⇒q és equivalent a ¬p∨q. Si dubtes, tradueix la implicació i avalua la disjunció, que és molt més intuïtiva.
Compte amb això.
Donar la implicació per falsa quan l'antecedent és fals.
Exercici 3
Classifica la fórmula p∨¬p.
Pista 1.
Tautologia: certa a totes les files. Contradicció: falsa a totes. Contingent: depèn.
Pista 2.
Amb dues variables només hi ha quatre files: prova-les totes.
Com es fa
El mètode. Amb dues variables proposicionals hi ha només quatre assignacions possibles. Avalua la fórmula a totes quatre i mira el resultat.
En aquest cas: la fórmula p∨¬p és Tautologia, perquè és el principi del tercer exclòs: sempre cert.
Per què importa. Les tautologies són exactament les equivalències i les regles d'inferència vàlides: un argument és vàlid precisament quan la implicació de les premisses cap a la conclusió és una tautologia. Les contradiccions són el que apareix al final d'una reducció a l'absurd. I les contingents no demostren res per si soles.
Compte amb això.
Provar només una assignació i generalitzar-ne el resultat.
Exercici 4
Quina és la negació correcta de «Existeix un nombre parell que és primer»?
Pista 1.
Canvia cada quantificador i nega el predicat final.
Pista 2.
La negació d'una implicació és una conjunció: antecedent cert i conseqüent fals.
Com es fa
L'enunciat original. «Existeix un nombre parell que és primer».
La regla. Es recorren els quantificadors d'esquerra a dreta canviant-los tots, i al final es nega el predicat aplicant De Morgan i la regla de la implicació on calgui.
En aquest cas: la negacio d'un existencial es un universal amb el predicat negat.
La negació correcta és: Tot nombre parell no és primer.
Una comprovació molt útil: l'enunciat i la seva negació han de tenir valors de veritat oposats en qualsevol situació. Si trobes un cas on tots dos són certs, o tots dos falsos, la negació és incorrecta.
Compte amb això.
Negar només el predicat i deixar el quantificador tal com estava.
Exercici 5
Amb p cert i q fals, quant val p⇒q? Escriu 1 si és cert i 0 si és fals.
Escriu només el número. Si no és enter, posa tres o quatre decimals.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
Recorda que la implicació només és falsa amb antecedent cert i conseqüent fals.
Pista 2.
Avalua de dins cap a fora: primer les negacions, després la resta.
Com es fa
Substituint. Amb p cert i q fals, la fórmula p⇒q val fals, o sigui 0.
El connectiu que cal vigilar. La implicació només és falsa quan l'antecedent és cert i el conseqüent és fals. Si l'antecedent és fals, la implicació és certa passi el que passi amb el conseqüent. Sobta la primera vegada, però és exactament el que fa que els teoremes amb hipòtesis funcionin: un teorema no afirma res sobre els casos que no compleixen les hipòtesis.
Truc útil:p⇒q és equivalent a ¬p∨q. Si dubtes, tradueix la implicació i avalua la disjunció, que és molt més intuïtiva.
Compte amb això.
Donar la implicació per falsa quan l'antecedent és fals.
Exercici 6
Classifica la fórmula p∧¬p.
Pista 1.
Tautologia: certa a totes les files. Contradicció: falsa a totes. Contingent: depèn.
Pista 2.
Amb dues variables només hi ha quatre files: prova-les totes.
Com es fa
El mètode. Amb dues variables proposicionals hi ha només quatre assignacions possibles. Avalua la fórmula a totes quatre i mira el resultat.
En aquest cas: la fórmula p∧¬p és Contradicció, perquè és el principi de no contradicció negat: sempre fals.
Per què importa. Les tautologies són exactament les equivalències i les regles d'inferència vàlides: un argument és vàlid precisament quan la implicació de les premisses cap a la conclusió és una tautologia. Les contradiccions són el que apareix al final d'una reducció a l'absurd. I les contingents no demostren res per si soles.
Compte amb això.
Provar només una assignació i generalitzar-ne el resultat.
Exercici 7
Quina és la negació correcta de «Si plou, agafo el paraigua»?
Pista 1.
Canvia cada quantificador i nega el predicat final.
Pista 2.
La negació d'una implicació és una conjunció: antecedent cert i conseqüent fals.
Com es fa
L'enunciat original. «Si plou, agafo el paraigua».
La regla. Es recorren els quantificadors d'esquerra a dreta canviant-los tots, i al final es nega el predicat aplicant De Morgan i la regla de la implicació on calgui.
En aquest cas: la negacio d'una implicacio es una conjuncio, no una altra implicacio.
La negació correcta és: Plou i no agafo el paraigua.
Una comprovació molt útil: l'enunciat i la seva negació han de tenir valors de veritat oposats en qualsevol situació. Si trobes un cas on tots dos són certs, o tots dos falsos, la negació és incorrecta.
Compte amb això.
Negar només el predicat i deixar el quantificador tal com estava.
Exercici 8
Amb p fals i q cert, quant val p⇒q? Escriu 1 si és cert i 0 si és fals.
Escriu només el número. Si no és enter, posa tres o quatre decimals.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
Recorda que la implicació només és falsa amb antecedent cert i conseqüent fals.
Pista 2.
Avalua de dins cap a fora: primer les negacions, després la resta.
Com es fa
Substituint. Amb p fals i q cert, la fórmula p⇒q val cert, o sigui 1.
El connectiu que cal vigilar. La implicació només és falsa quan l'antecedent és cert i el conseqüent és fals. Si l'antecedent és fals, la implicació és certa passi el que passi amb el conseqüent. Sobta la primera vegada, però és exactament el que fa que els teoremes amb hipòtesis funcionin: un teorema no afirma res sobre els casos que no compleixen les hipòtesis.
Truc útil:p⇒q és equivalent a ¬p∨q. Si dubtes, tradueix la implicació i avalua la disjunció, que és molt més intuïtiva.
Compte amb això.
Donar la implicació per falsa quan l'antecedent és fals.
Exercici 9
Classifica la fórmula p⇒q.
Pista 1.
Tautologia: certa a totes les files. Contradicció: falsa a totes. Contingent: depèn.
Pista 2.
Amb dues variables només hi ha quatre files: prova-les totes.
Com es fa
El mètode. Amb dues variables proposicionals hi ha només quatre assignacions possibles. Avalua la fórmula a totes quatre i mira el resultat.
En aquest cas: la fórmula p⇒q és Contingent, perquè és falsa només a la fila amb p cert i q fals.
Per què importa. Les tautologies són exactament les equivalències i les regles d'inferència vàlides: un argument és vàlid precisament quan la implicació de les premisses cap a la conclusió és una tautologia. Les contradiccions són el que apareix al final d'una reducció a l'absurd. I les contingents no demostren res per si soles.
Compte amb això.
Provar només una assignació i generalitzar-ne el resultat.
Exercici 10
Quina és la negació correcta de «x>0 i y>0»?
Pista 1.
Canvia cada quantificador i nega el predicat final.
Pista 2.
La negació d'una implicació és una conjunció: antecedent cert i conseqüent fals.
Com es fa
L'enunciat original. «x>0 i y>0».
La regla. Es recorren els quantificadors d'esquerra a dreta canviant-los tots, i al final es nega el predicat aplicant De Morgan i la regla de la implicació on calgui.
En aquest cas: De Morgan canvia la conjuncio per disjuncio i nega cada part, i la negacio de «major» es «menor o igual».
La negació correcta és: x≤0 o y≤0.
Una comprovació molt útil: l'enunciat i la seva negació han de tenir valors de veritat oposats en qualsevol situació. Si trobes un cas on tots dos són certs, o tots dos falsos, la negació és incorrecta.
Compte amb això.
Negar només el predicat i deixar el quantificador tal com estava.
Com escriure les respostes. A les integrals pots posar-hi la constant (+ C) o deixar-la: es dona per bona igual. Fes servir ^ per als exponents (x^2), * o res per multiplicar (3x i 3*x valen igual), / per dividir i sqrt( ) per a les arrels. Les funcions s'escriuensin(x), cos(x), ln(x), e^x. No cal que simplifiquis: qualsevol forma equivalent es dona per bona.
Has fallat algun exercici.Repassa'ls abans de continuar: el que has de repetir és justament el que no et surt.
Galetes
Fem servir galetes tècniques (necessàries perquè el lloc funcioni) i, si ens hi dones permís, galetes d'analítica i de publicitat que ens ajuden a mantenir els apunts gratuïts. Pots acceptar-les, rebutjar-les o triar-les una per una. Detall a la política de galetes.