Exercicis de lògica proposicional i de predicats

Substituint. Amb $p$ fals i $q$ fals, la fórmula $p \Rightarrow q$ val cert, o sigui $1$.

El connectiu que cal vigilar. La implicació només és falsa quan l'antecedent és cert i el conseqüent és fals. Si l'antecedent és fals, la implicació és certa passi el que passi amb el conseqüent. Sobta la primera vegada, però és exactament el que fa que els teoremes amb hipòtesis funcionin: un teorema no afirma res sobre els casos que no compleixen les hipòtesis.

Truc útil: $p\Rightarrow q$ és equivalent a $\neg p\lor q$. Si dubtes, tradueix la implicació i avalua la disjunció, que és molt més intuïtiva.

El mètode. Amb dues variables proposicionals hi ha només quatre assignacions possibles. Avalua la fórmula a totes quatre i mira el resultat.

En aquest cas: la fórmula $(p \land q) \Rightarrow p$ és Tautologia, perquè si la conjunció és certa, cada part ho és.

Per què importa. Les tautologies són exactament les equivalències i les regles d'inferència vàlides: un argument és vàlid precisament quan la implicació de les premisses cap a la conclusió és una tautologia. Les contradiccions són el que apareix al final d'una reducció a l'absurd. I les contingents no demostren res per si soles.

L'enunciat original. «$x \geq 3$ o $x \leq 1$».

La regla. Es recorren els quantificadors d'esquerra a dreta canviant-los tots, i al final es nega el predicat aplicant De Morgan i la regla de la implicació on calgui.

En aquest cas: De Morgan converteix la disjuncio en conjuncio: $x<3$ i $x>1$.

La negació correcta és: $1 < x < 3$.

Una comprovació molt útil: l'enunciat i la seva negació han de tenir valors de veritat oposats en qualsevol situació. Si trobes un cas on tots dos són certs, o tots dos falsos, la negació és incorrecta.

Substituint. Amb $p$ cert i $q$ cert, la fórmula $q \Rightarrow p$ val cert, o sigui $1$.

El connectiu que cal vigilar. La implicació només és falsa quan l'antecedent és cert i el conseqüent és fals. Si l'antecedent és fals, la implicació és certa passi el que passi amb el conseqüent. Sobta la primera vegada, però és exactament el que fa que els teoremes amb hipòtesis funcionin: un teorema no afirma res sobre els casos que no compleixen les hipòtesis.

Truc útil: $p\Rightarrow q$ és equivalent a $\neg p\lor q$. Si dubtes, tradueix la implicació i avalua la disjunció, que és molt més intuïtiva.

El mètode. Amb dues variables proposicionals hi ha només quatre assignacions possibles. Avalua la fórmula a totes quatre i mira el resultat.

En aquest cas: la fórmula $p \Rightarrow (p \lor q)$ és Tautologia, perquè afegir una alternativa a una cosa certa la manté certa.

Per què importa. Les tautologies són exactament les equivalències i les regles d'inferència vàlides: un argument és vàlid precisament quan la implicació de les premisses cap a la conclusió és una tautologia. Les contradiccions són el que apareix al final d'una reducció a l'absurd. I les contingents no demostren res per si soles.

L'enunciat original. «Tot nombre real té una arrel quadrada real».

La regla. Es recorren els quantificadors d'esquerra a dreta canviant-los tots, i al final es nega el predicat aplicant De Morgan i la regla de la implicació on calgui.

En aquest cas: es nega el quantificador universal, no el predicat sol.

La negació correcta és: Existeix un nombre real sense arrel quadrada real.

Una comprovació molt útil: l'enunciat i la seva negació han de tenir valors de veritat oposats en qualsevol situació. Si trobes un cas on tots dos són certs, o tots dos falsos, la negació és incorrecta.

Substituint. Amb $p$ cert i $q$ fals, la fórmula $q \Rightarrow p$ val cert, o sigui $1$.

El connectiu que cal vigilar. La implicació només és falsa quan l'antecedent és cert i el conseqüent és fals. Si l'antecedent és fals, la implicació és certa passi el que passi amb el conseqüent. Sobta la primera vegada, però és exactament el que fa que els teoremes amb hipòtesis funcionin: un teorema no afirma res sobre els casos que no compleixen les hipòtesis.

Truc útil: $p\Rightarrow q$ és equivalent a $\neg p\lor q$. Si dubtes, tradueix la implicació i avalua la disjunció, que és molt més intuïtiva.

El mètode. Amb dues variables proposicionals hi ha només quatre assignacions possibles. Avalua la fórmula a totes quatre i mira el resultat.

En aquest cas: la fórmula $(p \Rightarrow q) \land (p \land \neg q)$ és Contradicció, perquè les dues parts són incompatibles per definició.

Per què importa. Les tautologies són exactament les equivalències i les regles d'inferència vàlides: un argument és vàlid precisament quan la implicació de les premisses cap a la conclusió és una tautologia. Les contradiccions són el que apareix al final d'una reducció a l'absurd. I les contingents no demostren res per si soles.

L'enunciat original. «La successió és creixent i acotada».

La regla. Es recorren els quantificadors d'esquerra a dreta canviant-los tots, i al final es nega el predicat aplicant De Morgan i la regla de la implicació on calgui.

En aquest cas: De Morgan: la negacio d'una conjuncio es la disjuncio de les negacions.

La negació correcta és: La successió no és creixent o no és acotada.

Una comprovació molt útil: l'enunciat i la seva negació han de tenir valors de veritat oposats en qualsevol situació. Si trobes un cas on tots dos són certs, o tots dos falsos, la negació és incorrecta.

Substituint. Amb $p$ fals i $q$ cert, la fórmula $q \Rightarrow p$ val fals, o sigui $0$.

El connectiu que cal vigilar. La implicació només és falsa quan l'antecedent és cert i el conseqüent és fals. Si l'antecedent és fals, la implicació és certa passi el que passi amb el conseqüent. Sobta la primera vegada, però és exactament el que fa que els teoremes amb hipòtesis funcionin: un teorema no afirma res sobre els casos que no compleixen les hipòtesis.

Truc útil: $p\Rightarrow q$ és equivalent a $\neg p\lor q$. Si dubtes, tradueix la implicació i avalua la disjunció, que és molt més intuïtiva.