Simulacre d'examen de lògica proposicional i de predicats

L'enunciat original. «Tots els alumnes han aprovat».

La regla. Es recorren els quantificadors d'esquerra a dreta canviant-los tots, i al final es nega el predicat aplicant De Morgan i la regla de la implicació on calgui.

En aquest cas: la negacio d'un universal es un existencial amb el predicat negat, no un universal negatiu.

La negació correcta és: Existeix un alumne que no ha aprovat.

Una comprovació molt útil: l'enunciat i la seva negació han de tenir valors de veritat oposats en qualsevol situació. Si trobes un cas on tots dos són certs, o tots dos falsos, la negació és incorrecta.

El mètode. Amb dues variables proposicionals hi ha només quatre assignacions possibles. Avalua la fórmula a totes quatre i mira el resultat.

En aquest cas: la fórmula $p \land \neg p$ és Contradicció, perquè és el principi de no contradicció negat: sempre fals.

Per què importa. Les tautologies són exactament les equivalències i les regles d'inferència vàlides: un argument és vàlid precisament quan la implicació de les premisses cap a la conclusió és una tautologia. Les contradiccions són el que apareix al final d'una reducció a l'absurd. I les contingents no demostren res per si soles.

El mètode. Amb dues variables proposicionals hi ha només quatre assignacions possibles. Avalua la fórmula a totes quatre i mira el resultat.

En aquest cas: la fórmula $(p \land q) \Rightarrow p$ és Tautologia, perquè si la conjunció és certa, cada part ho és.

Per què importa. Les tautologies són exactament les equivalències i les regles d'inferència vàlides: un argument és vàlid precisament quan la implicació de les premisses cap a la conclusió és una tautologia. Les contradiccions són el que apareix al final d'una reducció a l'absurd. I les contingents no demostren res per si soles.

L'enunciat original. «Tot nombre real té una arrel quadrada real».

La regla. Es recorren els quantificadors d'esquerra a dreta canviant-los tots, i al final es nega el predicat aplicant De Morgan i la regla de la implicació on calgui.

En aquest cas: es nega el quantificador universal, no el predicat sol.

La negació correcta és: Existeix un nombre real sense arrel quadrada real.

Una comprovació molt útil: l'enunciat i la seva negació han de tenir valors de veritat oposats en qualsevol situació. Si trobes un cas on tots dos són certs, o tots dos falsos, la negació és incorrecta.

L'enunciat original. «Per a tot $\varepsilon > 0$ existeix $N$ amb $|a_n - L| < \varepsilon$ si $n > N$».

La regla. Es recorren els quantificadors d'esquerra a dreta canviant-los tots, i al final es nega el predicat aplicant De Morgan i la regla de la implicació on calgui.

En aquest cas: s'intercanvien els tres quantificadors en ordre i la desigualtat estricta passa a «major o igual».

La negació correcta és: Existeix $\varepsilon_0 > 0$ tal que per a tot $N$ hi ha algun $n > N$ amb $|a_n - L| \geq \varepsilon_0$.

Una comprovació molt útil: l'enunciat i la seva negació han de tenir valors de veritat oposats en qualsevol situació. Si trobes un cas on tots dos són certs, o tots dos falsos, la negació és incorrecta.

El mètode. Amb dues variables proposicionals hi ha només quatre assignacions possibles. Avalua la fórmula a totes quatre i mira el resultat.

En aquest cas: la fórmula $p \land (q \lor \neg q)$ és Contingent, perquè el segon factor és sempre cert, o sigui que tot depèn de $p$.

Per què importa. Les tautologies són exactament les equivalències i les regles d'inferència vàlides: un argument és vàlid precisament quan la implicació de les premisses cap a la conclusió és una tautologia. Les contradiccions són el que apareix al final d'una reducció a l'absurd. I les contingents no demostren res per si soles.

El mètode. Amb dues variables proposicionals hi ha només quatre assignacions possibles. Avalua la fórmula a totes quatre i mira el resultat.

En aquest cas: la fórmula $(p \land q) \lor (\neg p \land \neg q)$ és Contingent, perquè és certa quan coincideixen i falsa quan difereixen.

Per què importa. Les tautologies són exactament les equivalències i les regles d'inferència vàlides: un argument és vàlid precisament quan la implicació de les premisses cap a la conclusió és una tautologia. Les contradiccions són el que apareix al final d'una reducció a l'absurd. I les contingents no demostren res per si soles.

El mètode. Amb dues variables proposicionals hi ha només quatre assignacions possibles. Avalua la fórmula a totes quatre i mira el resultat.

En aquest cas: la fórmula $((p \Rightarrow q) \land \neg q) \Rightarrow \neg p$ és Tautologia, perquè és el modus tollens.

Per què importa. Les tautologies són exactament les equivalències i les regles d'inferència vàlides: un argument és vàlid precisament quan la implicació de les premisses cap a la conclusió és una tautologia. Les contradiccions són el que apareix al final d'una reducció a l'absurd. I les contingents no demostren res per si soles.

Substituint. Amb $p$ cert i $q$ cert, la fórmula $p \Rightarrow q$ val cert, o sigui $1$.

El connectiu que cal vigilar. La implicació només és falsa quan l'antecedent és cert i el conseqüent és fals. Si l'antecedent és fals, la implicació és certa passi el que passi amb el conseqüent. Sobta la primera vegada, però és exactament el que fa que els teoremes amb hipòtesis funcionin: un teorema no afirma res sobre els casos que no compleixen les hipòtesis.

Truc útil: $p\Rightarrow q$ és equivalent a $\neg p\lor q$. Si dubtes, tradueix la implicació i avalua la disjunció, que és molt més intuïtiva.

Substituint. Amb $p$ cert i $q$ cert, la fórmula $\neg p \lor q$ val cert, o sigui $1$.

El connectiu que cal vigilar. La implicació només és falsa quan l'antecedent és cert i el conseqüent és fals. Si l'antecedent és fals, la implicació és certa passi el que passi amb el conseqüent. Sobta la primera vegada, però és exactament el que fa que els teoremes amb hipòtesis funcionin: un teorema no afirma res sobre els casos que no compleixen les hipòtesis.

Truc útil: $p\Rightarrow q$ és equivalent a $\neg p\lor q$. Si dubtes, tradueix la implicació i avalua la disjunció, que és molt més intuïtiva.

Substituint. Amb $p$ cert i $q$ cert, la fórmula $\neg p \Rightarrow \neg q$ val cert, o sigui $1$.

El connectiu que cal vigilar. La implicació només és falsa quan l'antecedent és cert i el conseqüent és fals. Si l'antecedent és fals, la implicació és certa passi el que passi amb el conseqüent. Sobta la primera vegada, però és exactament el que fa que els teoremes amb hipòtesis funcionin: un teorema no afirma res sobre els casos que no compleixen les hipòtesis.

Truc útil: $p\Rightarrow q$ és equivalent a $\neg p\lor q$. Si dubtes, tradueix la implicació i avalua la disjunció, que és molt més intuïtiva.

Substituint. Amb $p$ cert i $q$ cert, la fórmula $p \land \neg p$ val fals, o sigui $0$.

El connectiu que cal vigilar. La implicació només és falsa quan l'antecedent és cert i el conseqüent és fals. Si l'antecedent és fals, la implicació és certa passi el que passi amb el conseqüent. Sobta la primera vegada, però és exactament el que fa que els teoremes amb hipòtesis funcionin: un teorema no afirma res sobre els casos que no compleixen les hipòtesis.

Truc útil: $p\Rightarrow q$ és equivalent a $\neg p\lor q$. Si dubtes, tradueix la implicació i avalua la disjunció, que és molt més intuïtiva.