Exercicis de lògica proposicional i de predicats

L'enunciat original. «Tot triangle rectangle té un angle recte».

La regla. Es recorren els quantificadors d'esquerra a dreta canviant-los tots, i al final es nega el predicat aplicant De Morgan i la regla de la implicació on calgui.

En aquest cas: es nega l'universal i el predicat.

La negació correcta és: Existeix un triangle rectangle sense angle recte.

Una comprovació molt útil: l'enunciat i la seva negació han de tenir valors de veritat oposats en qualsevol situació. Si trobes un cas on tots dos són certs, o tots dos falsos, la negació és incorrecta.

Substituint. Amb $p$ fals i $q$ cert, la fórmula $p \land q$ val fals, o sigui $0$.

El connectiu que cal vigilar. La implicació només és falsa quan l'antecedent és cert i el conseqüent és fals. Si l'antecedent és fals, la implicació és certa passi el que passi amb el conseqüent. Sobta la primera vegada, però és exactament el que fa que els teoremes amb hipòtesis funcionin: un teorema no afirma res sobre els casos que no compleixen les hipòtesis.

Truc útil: $p\Rightarrow q$ és equivalent a $\neg p\lor q$. Si dubtes, tradueix la implicació i avalua la disjunció, que és molt més intuïtiva.

El mètode. Amb dues variables proposicionals hi ha només quatre assignacions possibles. Avalua la fórmula a totes quatre i mira el resultat.

En aquest cas: la fórmula $(p \land q) \lor (\neg p \land \neg q)$ és Contingent, perquè és certa quan coincideixen i falsa quan difereixen.

Per què importa. Les tautologies són exactament les equivalències i les regles d'inferència vàlides: un argument és vàlid precisament quan la implicació de les premisses cap a la conclusió és una tautologia. Les contradiccions són el que apareix al final d'una reducció a l'absurd. I les contingents no demostren res per si soles.

L'enunciat original. «$f$ és contínua o derivable».

La regla. Es recorren els quantificadors d'esquerra a dreta canviant-los tots, i al final es nega el predicat aplicant De Morgan i la regla de la implicació on calgui.

En aquest cas: De Morgan sobre una disjuncio.

La negació correcta és: $f$ no és contínua i no és derivable.

Una comprovació molt útil: l'enunciat i la seva negació han de tenir valors de veritat oposats en qualsevol situació. Si trobes un cas on tots dos són certs, o tots dos falsos, la negació és incorrecta.

Substituint. Amb $p$ fals i $q$ fals, la fórmula $p \land q$ val fals, o sigui $0$.

El connectiu que cal vigilar. La implicació només és falsa quan l'antecedent és cert i el conseqüent és fals. Si l'antecedent és fals, la implicació és certa passi el que passi amb el conseqüent. Sobta la primera vegada, però és exactament el que fa que els teoremes amb hipòtesis funcionin: un teorema no afirma res sobre els casos que no compleixen les hipòtesis.

Truc útil: $p\Rightarrow q$ és equivalent a $\neg p\lor q$. Si dubtes, tradueix la implicació i avalua la disjunció, que és molt més intuïtiva.

El mètode. Amb dues variables proposicionals hi ha només quatre assignacions possibles. Avalua la fórmula a totes quatre i mira el resultat.

En aquest cas: la fórmula $((p \Rightarrow q) \land p) \Rightarrow q$ és Tautologia, perquè és el modus ponens escrit com a fórmula.

Per què importa. Les tautologies són exactament les equivalències i les regles d'inferència vàlides: un argument és vàlid precisament quan la implicació de les premisses cap a la conclusió és una tautologia. Les contradiccions són el que apareix al final d'una reducció a l'absurd. I les contingents no demostren res per si soles.

Substituint. Amb $p$ cert i $q$ cert, la fórmula $p \lor q$ val cert, o sigui $1$.

El connectiu que cal vigilar. La implicació només és falsa quan l'antecedent és cert i el conseqüent és fals. Si l'antecedent és fals, la implicació és certa passi el que passi amb el conseqüent. Sobta la primera vegada, però és exactament el que fa que els teoremes amb hipòtesis funcionin: un teorema no afirma res sobre els casos que no compleixen les hipòtesis.

Truc útil: $p\Rightarrow q$ és equivalent a $\neg p\lor q$. Si dubtes, tradueix la implicació i avalua la disjunció, que és molt més intuïtiva.

El mètode. Amb dues variables proposicionals hi ha només quatre assignacions possibles. Avalua la fórmula a totes quatre i mira el resultat.

En aquest cas: la fórmula $((p \Rightarrow q) \land \neg q) \Rightarrow \neg p$ és Tautologia, perquè és el modus tollens.

Per què importa. Les tautologies són exactament les equivalències i les regles d'inferència vàlides: un argument és vàlid precisament quan la implicació de les premisses cap a la conclusió és una tautologia. Les contradiccions són el que apareix al final d'una reducció a l'absurd. I les contingents no demostren res per si soles.

Substituint. Amb $p$ cert i $q$ fals, la fórmula $p \lor q$ val cert, o sigui $1$.

El connectiu que cal vigilar. La implicació només és falsa quan l'antecedent és cert i el conseqüent és fals. Si l'antecedent és fals, la implicació és certa passi el que passi amb el conseqüent. Sobta la primera vegada, però és exactament el que fa que els teoremes amb hipòtesis funcionin: un teorema no afirma res sobre els casos que no compleixen les hipòtesis.

Truc útil: $p\Rightarrow q$ és equivalent a $\neg p\lor q$. Si dubtes, tradueix la implicació i avalua la disjunció, que és molt més intuïtiva.

El mètode. Amb dues variables proposicionals hi ha només quatre assignacions possibles. Avalua la fórmula a totes quatre i mira el resultat.

En aquest cas: la fórmula $((p \Rightarrow q) \land q) \Rightarrow p$ és Contingent, perquè és la fal·làcia d'afirmar el conseqüent: falla quan $p$ és fals i $q$ cert.

Per què importa. Les tautologies són exactament les equivalències i les regles d'inferència vàlides: un argument és vàlid precisament quan la implicació de les premisses cap a la conclusió és una tautologia. Les contradiccions són el que apareix al final d'una reducció a l'absurd. I les contingents no demostren res per si soles.