Exercicis de lògica proposicional i de predicats

El mètode. Amb dues variables proposicionals hi ha només quatre assignacions possibles. Avalua la fórmula a totes quatre i mira el resultat.

En aquest cas: la fórmula $p \Leftrightarrow \neg p$ és Contradicció, perquè cap proposició no pot equivaler a la seva negació.

Per què importa. Les tautologies són exactament les equivalències i les regles d'inferència vàlides: un argument és vàlid precisament quan la implicació de les premisses cap a la conclusió és una tautologia. Les contradiccions són el que apareix al final d'una reducció a l'absurd. I les contingents no demostren res per si soles.

L'enunciat original. «Per a tot $\varepsilon > 0$ existeix $N$ amb $|a_n - L| < \varepsilon$ si $n > N$».

La regla. Es recorren els quantificadors d'esquerra a dreta canviant-los tots, i al final es nega el predicat aplicant De Morgan i la regla de la implicació on calgui.

En aquest cas: s'intercanvien els tres quantificadors en ordre i la desigualtat estricta passa a «major o igual».

La negació correcta és: Existeix $\varepsilon_0 > 0$ tal que per a tot $N$ hi ha algun $n > N$ amb $|a_n - L| \geq \varepsilon_0$.

Una comprovació molt útil: l'enunciat i la seva negació han de tenir valors de veritat oposats en qualsevol situació. Si trobes un cas on tots dos són certs, o tots dos falsos, la negació és incorrecta.

Substituint. Amb $p$ fals i $q$ fals, la fórmula $q \Rightarrow p$ val cert, o sigui $1$.

El connectiu que cal vigilar. La implicació només és falsa quan l'antecedent és cert i el conseqüent és fals. Si l'antecedent és fals, la implicació és certa passi el que passi amb el conseqüent. Sobta la primera vegada, però és exactament el que fa que els teoremes amb hipòtesis funcionin: un teorema no afirma res sobre els casos que no compleixen les hipòtesis.

Truc útil: $p\Rightarrow q$ és equivalent a $\neg p\lor q$. Si dubtes, tradueix la implicació i avalua la disjunció, que és molt més intuïtiva.

El mètode. Amb dues variables proposicionals hi ha només quatre assignacions possibles. Avalua la fórmula a totes quatre i mira el resultat.

En aquest cas: la fórmula $(p \Rightarrow q) \lor (q \Rightarrow p)$ és Tautologia, perquè com a mínim una de les dues implicacions sempre val.

Per què importa. Les tautologies són exactament les equivalències i les regles d'inferència vàlides: un argument és vàlid precisament quan la implicació de les premisses cap a la conclusió és una tautologia. Les contradiccions són el que apareix al final d'una reducció a l'absurd. I les contingents no demostren res per si soles.

L'enunciat original. «Algun dia de la setmana plou».

La regla. Es recorren els quantificadors d'esquerra a dreta canviant-los tots, i al final es nega el predicat aplicant De Morgan i la regla de la implicació on calgui.

En aquest cas: la negacio d'«algun» es «cap».

La negació correcta és: Cap dia de la setmana no plou.

Una comprovació molt útil: l'enunciat i la seva negació han de tenir valors de veritat oposats en qualsevol situació. Si trobes un cas on tots dos són certs, o tots dos falsos, la negació és incorrecta.

Substituint. Amb $p$ cert i $q$ cert, la fórmula $p \land q$ val cert, o sigui $1$.

El connectiu que cal vigilar. La implicació només és falsa quan l'antecedent és cert i el conseqüent és fals. Si l'antecedent és fals, la implicació és certa passi el que passi amb el conseqüent. Sobta la primera vegada, però és exactament el que fa que els teoremes amb hipòtesis funcionin: un teorema no afirma res sobre els casos que no compleixen les hipòtesis.

Truc útil: $p\Rightarrow q$ és equivalent a $\neg p\lor q$. Si dubtes, tradueix la implicació i avalua la disjunció, que és molt més intuïtiva.

El mètode. Amb dues variables proposicionals hi ha només quatre assignacions possibles. Avalua la fórmula a totes quatre i mira el resultat.

En aquest cas: la fórmula $p \land (q \lor \neg q)$ és Contingent, perquè el segon factor és sempre cert, o sigui que tot depèn de $p$.

Per què importa. Les tautologies són exactament les equivalències i les regles d'inferència vàlides: un argument és vàlid precisament quan la implicació de les premisses cap a la conclusió és una tautologia. Les contradiccions són el que apareix al final d'una reducció a l'absurd. I les contingents no demostren res per si soles.

L'enunciat original. «Si $n$ és parell, $n^{2}$ és parell».

La regla. Es recorren els quantificadors d'esquerra a dreta canviant-los tots, i al final es nega el predicat aplicant De Morgan i la regla de la implicació on calgui.

En aquest cas: la negacio d'una implicacio afirma l'antecedent i nega el consequent.

La negació correcta és: $n$ és parell i $n^{2}$ no és parell.

Una comprovació molt útil: l'enunciat i la seva negació han de tenir valors de veritat oposats en qualsevol situació. Si trobes un cas on tots dos són certs, o tots dos falsos, la negació és incorrecta.

Substituint. Amb $p$ cert i $q$ fals, la fórmula $p \land q$ val fals, o sigui $0$.

El connectiu que cal vigilar. La implicació només és falsa quan l'antecedent és cert i el conseqüent és fals. Si l'antecedent és fals, la implicació és certa passi el que passi amb el conseqüent. Sobta la primera vegada, però és exactament el que fa que els teoremes amb hipòtesis funcionin: un teorema no afirma res sobre els casos que no compleixen les hipòtesis.

Truc útil: $p\Rightarrow q$ és equivalent a $\neg p\lor q$. Si dubtes, tradueix la implicació i avalua la disjunció, que és molt més intuïtiva.

El mètode. Amb dues variables proposicionals hi ha només quatre assignacions possibles. Avalua la fórmula a totes quatre i mira el resultat.

En aquest cas: la fórmula $\neg(p \Rightarrow p)$ és Contradicció, perquè la implicació d'una cosa amb ella mateixa sempre és certa.

Per què importa. Les tautologies són exactament les equivalències i les regles d'inferència vàlides: un argument és vàlid precisament quan la implicació de les premisses cap a la conclusió és una tautologia. Les contradiccions són el que apareix al final d'una reducció a l'absurd. I les contingents no demostren res per si soles.