Exercicis de vectors, productes i projeccions

El càlcul.

$u\cdot v = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 1$

Què en pots deduir. El signe diu si l'angle és agut (positiu), recte (zero) o obtús (negatiu). Aquí és agut.

Recordatori important. Aquesta fórmula de coordenades només val si la base és ortonormal. En una base obliqua caldria la matriu de Gram, i el resultat seria diferent.

Les normes són $\lVert u\rVert = \sqrt{2}$ i $\lVert v\rVert = \sqrt{2}$, de manera que el cosinus de l'angle val $0.5000$.

Via producte vectorial.

$u\times v = (1,\ -1,\ -1),\qquad \lVert u\times v\rVert = \sqrt{3} \approx 1.7321$

Via matriu de Gram. Pel teorema de Lagrange, el quadrat de l'àrea és

$\lVert u\rVert^{2}\lVert v\rVert^{2} - (u\cdot v)^{2} = 2\cdot2 - 1^{2} = 3$

Les dues vies coincideixen, com han de fer.

Per què la segona és més general. El producte vectorial només existeix en dimensió tres; l'arrel del determinant de Gram dona l'àrea en qualsevol dimensió. Si aquests mateixos vectors visquessin en un espai de dimensió cinc, l'àrea seria la mateixa.

L'àrea del triangle seria la meitat: $0.8660$.

La fórmula.

$\cos\theta = \frac{u\cdot v}{\lVert u\rVert\,\lVert v\rVert}$

Substituint. El producte escalar val $1$, i les normes $\sqrt{2} \approx 1.4142$ i $\sqrt{2} \approx 1.4142$:

$\cos\theta = 0.5000$

L'angle és, doncs, d'uns $60.0$ graus.

Per què el resultat sempre cau entre $-1$ i $1$. És exactament el que garanteix la desigualtat de Cauchy i Schwarz: el mòdul del producte escalar no pot superar el producte de les normes. Si mai et surt un cosinus fora d'aquest rang, hi ha un error de càlcul segur.

Comprovació ràpida: amb igualtat a $\pm1$, els vectors serien proporcionals.

El producte mixt. És el determinant de la matriu formada pels tres vectors:

$\det = 1$

El volum n'és el valor absolut:

$V = 1$

El signe del determinant (abans del valor absolut) indica l'orientació: positiu vol dir que els tres vectors formen una base amb la mateixa orientació que la canònica.

La utilitat pràctica. Aquest determinant és la manera més ràpida de decidir si tres vectors són independents, si quatre punts són coplanaris o si dues rectes es tallen.

El càlcul.

$u\cdot v = 1 \cdot 4 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 6 = 32$

Què en pots deduir. El signe diu si l'angle és agut (positiu), recte (zero) o obtús (negatiu). Aquí és agut.

Recordatori important. Aquesta fórmula de coordenades només val si la base és ortonormal. En una base obliqua caldria la matriu de Gram, i el resultat seria diferent.

Les normes són $\lVert u\rVert = \sqrt{14}$ i $\lVert v\rVert = \sqrt{77}$, de manera que el cosinus de l'angle val $0.9746$.

Via producte vectorial.

$u\times v = (-3,\ 6,\ -3),\qquad \lVert u\times v\rVert = 3 \sqrt{6} \approx 7.3485$

Via matriu de Gram. Pel teorema de Lagrange, el quadrat de l'àrea és

$\lVert u\rVert^{2}\lVert v\rVert^{2} - (u\cdot v)^{2} = 14\cdot77 - 32^{2} = 54$

Les dues vies coincideixen, com han de fer.

Per què la segona és més general. El producte vectorial només existeix en dimensió tres; l'arrel del determinant de Gram dona l'àrea en qualsevol dimensió. Si aquests mateixos vectors visquessin en un espai de dimensió cinc, l'àrea seria la mateixa.

L'àrea del triangle seria la meitat: $3.6742$.

La fórmula.

$\cos\theta = \frac{u\cdot v}{\lVert u\rVert\,\lVert v\rVert}$

Substituint. El producte escalar val $32$, i les normes $\sqrt{14} \approx 3.7417$ i $\sqrt{77} \approx 8.7750$:

$\cos\theta = 0.9746$

L'angle és, doncs, d'uns $12.9$ graus.

Per què el resultat sempre cau entre $-1$ i $1$. És exactament el que garanteix la desigualtat de Cauchy i Schwarz: el mòdul del producte escalar no pot superar el producte de les normes. Si mai et surt un cosinus fora d'aquest rang, hi ha un error de càlcul segur.

Comprovació ràpida: amb igualtat a $\pm1$, els vectors serien proporcionals.

El producte mixt. És el determinant de la matriu formada pels tres vectors:

$\det = -2$

El volum n'és el valor absolut:

$V = 2$

El signe del determinant (abans del valor absolut) indica l'orientació: positiu vol dir que els tres vectors formen una base amb la mateixa orientació que la canònica.

La utilitat pràctica. Aquest determinant és la manera més ràpida de decidir si tres vectors són independents, si quatre punts són coplanaris o si dues rectes es tallen.

El càlcul.

$u\cdot v = 2 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 3$

Què en pots deduir. El signe diu si l'angle és agut (positiu), recte (zero) o obtús (negatiu). Aquí és agut.

Recordatori important. Aquesta fórmula de coordenades només val si la base és ortonormal. En una base obliqua caldria la matriu de Gram, i el resultat seria diferent.

Les normes són $\lVert u\rVert = \sqrt{5}$ i $\lVert v\rVert = \sqrt{3}$, de manera que el cosinus de l'angle val $0.7746$.

Via producte vectorial.

$u\times v = (-1,\ -1,\ 2),\qquad \lVert u\times v\rVert = \sqrt{6} \approx 2.4495$

Via matriu de Gram. Pel teorema de Lagrange, el quadrat de l'àrea és

$\lVert u\rVert^{2}\lVert v\rVert^{2} - (u\cdot v)^{2} = 5\cdot3 - 3^{2} = 6$

Les dues vies coincideixen, com han de fer.

Per què la segona és més general. El producte vectorial només existeix en dimensió tres; l'arrel del determinant de Gram dona l'àrea en qualsevol dimensió. Si aquests mateixos vectors visquessin en un espai de dimensió cinc, l'àrea seria la mateixa.

L'àrea del triangle seria la meitat: $1.2247$.