Vectors, productes i projeccions: Gram, Cauchy-Schwarz i àrees

A batxillerat el producte escalar és «suma de productes de coordenades». A la universitat això passa a ser un cas particular, el que es dona quan la base és ortonormal. Entendre què passa quan no ho és, i saber què és realment una projecció, és el que permet aplicar aquestes eines en espais on la intuïció geomètrica ja no arriba.

Estructura euclidiana

Un producte escalar real és una forma bilineal simètrica i definida positiva. A partir d'ell es defineixen la norma com l'arrel del producte d'un vector per si mateix, la distància com la norma de la diferència, i l'angle entre vectors no nuls per

$$\cos\theta = \frac{\langle u,v\rangle}{\lVert u\rVert\,\lVert v\rVert}.$$

La desigualtat de Cauchy i Schwarz diu que el mòdul del producte escalar no supera el producte de les normes, amb igualtat exactament quan els vectors són proporcionals. La prova és bonica i val la pena conèixer-la: per a $v$ no nul, la norma al quadrat de $u - tv$ és no negativa per a tot $t$; triant $t$ igual al quocient del producte escalar per la norma al quadrat de $v$, la desigualtat surt sola. És el que garanteix que el cosinus de l'angle estigui entre $-1$ i $1$, és a dir que l'angle existeixi.

Projecció ortogonal

Sobre una sola direcció no nul·la,

$$\operatorname{proj}_v u = \frac{\langle u,v\rangle}{\langle v,v\rangle}\,v.$$

Sobre un subespai amb base ortonormal, la projecció és la suma de les projeccions sobre cada element de la base. I si tens una matriu $A$ amb columnes independents que generen el subespai (no necessàriament ortonormals), la matriu de projecció és

$$P = A(A^{T}A)^{-1}A^{T},$$

que compleix $P^{2} = P$ (projectar dues vegades és el mateix que una) i $P^{T} = P$ (és simètrica). Aquestes dues propietats caracteritzen les projeccions ortogonals.

Producte vectorial i mixt

A l'espai de tres dimensions amb orientació fixada, el producte vectorial dona un vector perpendicular als dos, de mòdul igual al producte de les normes pel sinus de l'angle, i sentit donat per la regla de la mà dreta. D'aquí surt que el mòdul és l'àrea del paral·lelogram que els dos vectors determinen, i la meitat és l'àrea del triangle.

El producte mixt, és a dir el producte escalar d'un vector pel producte vectorial dels altres dos, és el volum orientat del paral·lelepípede; el volum geomètric n'és el valor absolut. I si val zero, els tres vectors són coplanaris.

La identitat de Lagrange,

$$\lVert u\times v\rVert^{2} = \lVert u\rVert^{2}\lVert v\rVert^{2} - (u\cdot v)^{2},$$

connecta les dues eines: el membre dret és exactament el determinant de la matriu de Gram dels dos vectors. Això és important perquè en dimensions superiors no hi ha producte vectorial, però l'àrea generada per dos vectors segueix sent l'arrel del determinant de Gram. La fórmula general sobreviu; el producte vectorial és una comoditat que només existeix en dimensió tres.

Exercici resolt: projecció i distància a un pla

Projecta el punt $(2,1,3)$ sobre el pla $z = 0$ i calcula'n la distància.

Descomposició. El pla té normal $(0,0,1)$. El vector es descompon en la part que hi viu i la part perpendicular:

$$(2,1,3) = \underbrace{(2,1,0)}_{\text{dins del pla}} + \underbrace{(0,0,3)}_{\text{perpendicular}}.$$

La projecció és $(2,1,0)$ i la distància és la norma de la component normal, és a dir $3$.

Comprovació. El vector que va del punt a la seva projecció ha de ser paral·lel a la normal: $(0,0,-3)$ ho és. I la projecció ha de complir l'equació del pla: la seva tercera coordenada val zero. Correcte.

Aquest cas és trivial perquè el pla és un dels coordenats, però el mètode és exactament el mateix en general: resta la component en la direcció normal.

Exercici resolt: base ortonormal amb Gram i Schmidt

Ortonormalitza la base $\{(1,1,0),\ (1,0,1)\}$ del pla que generen.

Primer vector. El normalitzem: $q_1 = (1,1,0)/\sqrt2$.

Segon vector. Li restem la seva projecció sobre el primer. El producte escalar del segon amb $q_1$ val $1/\sqrt2$, de manera que

$$w = (1,0,1) - \frac{1}{\sqrt2}\cdot\frac{(1,1,0)}{\sqrt2} = (1,0,1) - \left(\tfrac12,\tfrac12,0\right) = \left(\tfrac12,-\tfrac12,1\right).$$

La seva norma és $\sqrt{1/4+1/4+1} = \sqrt{3/2}$, i normalitzant obtenim $q_2$.

Comprovació obligatòria: el producte escalar de $q_1$ i $q_2$ ha de ser zero. $\tfrac12 - \tfrac12 + 0 = 0$. Correcte.

Per a què serveix. Amb una base ortonormal, projectar sobre el pla és simplement sumar les dues projeccions individuals, sense haver d'invertir cap matriu. Aquest és el mateix procediment que hi ha darrere de la factorització QR.