Repte del bloc: entrades per a una sortida
Aquest repte ajunta les tres eines centrals del bloc: plantejar, resoldre un sistema i traduir una restricció a una inequació. L'últim apartat és el que demana més criteri, perquè la resposta ha de ser un nombre enter i no el que surti de l'equació.
El que has de dominar abans: tot el bloc d'àlgebra, especialment sistemes i inequacions.
La situació
Un grup compra 24 entrades. Les ordinàries costen 9 euros i les reduïdes, 6 euros. Es paguen 186 euros en total.
1. Defineix dues incògnites i planteja un sistema.
2. Resol-lo i comprova els dos totals.
3. Si cada entrada ordinària pugés un euro, quin seria el nou cost per a la mateixa distribució? I si es volguessin comprar 24 entrades amb un pressupost màxim de 180 euros als preus inicials, quantes ordinàries es podrien comprar com a màxim?
L'estratègia
Defineix les incògnites per escrit, amb unitats. És el primer pas del tema de plantejar problemes, i sense ell la resta no es pot corregir.
Busca les dues condicions. Un problema de dues incògnites necessita dues equacions, i l'enunciat sempre les dona: aquí, el nombre total d'entrades i el cost total.
L'últim apartat canvia de naturalesa. Un pressupost màxim és una desigualtat, no una igualtat, i la resposta ha de ser un enter, perquè compta entrades.
Un pressupost màxim no és una igualtat
«Amb un pressupost màxim de euros» vol dir que el cost ha de ser menor o igual que , no exactament .
Si plantegessis una igualtat, la solució podria sortir amb decimals i no voldria dir res: no es compren entrades.
El plantejament correcte és una inequació, i la resposta és l'enter més gran que la compleix. Aquest últim pas (arrodonir cap avall, perquè es tracta d'un màxim) és el que decideix l'apartat.
I compte amb el sentit de l'arrodoniment. Al repte del bloc de nombres, els paquets de farina s'arrodonien cap amunt perquè calia cobrir una quantitat. Aquí s'arrodoneix cap avall perquè no es pot passar d'un límit. El criteri no és mecànic: surt de què demana el problema.
Apartats 1 i 2: plantejar i resoldre el sistema
Defineix les incògnites.
Sigui el nombre d'entrades ordinàries i el nombre d'entrades reduïdes.
Les dues condicions.
El nombre total d'entrades:
El cost total, en euros:
Tria el mètode. La primera equació té les dues incògnites amb coeficient : la substitució no genera fraccions.
Aïlla a la primera.
Substitueix a la segona.
de manera que
La resposta: 14 entrades ordinàries i 10 reduïdes.
Comprovació de les dues condicions, que és el que demana l'apartat 2:
Comprovació del context. Totes dues respostes són enters no negatius, com han de ser perquè compten entrades ✓
Un camí alternatiu per reducció. Multiplicant la primera equació per i restant-la de la segona:
El mateix resultat. Fixa't que aquest camí té una lectura amb significat: euros és el que costarien 24 entrades reduïdes, i els euros de diferència es reparteixen entre els euros de sobrecost de cada ordinària, cosa que dona ordinàries directament.
Apartat 3, primera part: si l'ordinària pujés un euro
La distribució es manté: ordinàries i reduïdes. L'únic que canvia és el preu de l'ordinària, que passa de a euros.
El nou cost.
L'increment.
Per què exactament . Perquè cada una de les entrades ordinàries puja un euro. L'increment total és el nombre d'entrades afectades, i no depèn gens del preu de partida.
Comprovació en relatiu.
El preu d'una categoria ha pujat l' (d' euro sobre ), però el cost total només puja el , perquè la pujada no afecta les entrades reduïdes. És una mitjana ponderada de les dues pujades, com al bloc d'estadística.
La lectura algebraica. Si el preu de l'ordinària és , el cost total és
una funció afí de pendent : cada euro de pujada són euros de cost. El pendent és el nombre d'entrades ordinàries, i això és el que dona significat al coeficient.
Escriu quines són les dues condicions abans de tocar números
En qualsevol problema de dues incògnites, localitza les dues frases de l'enunciat que donen les dues equacions. Normalment una és un total de quantitats i l'altra un total de diners, de pesos o de temps.
Si només en trobes una, o el problema té infinites solucions o hi ha una dada que no has llegit. I si en trobes tres, comprova que una no sigui conseqüència de les altres dues.
Apartat 3, segona part: el pressupost màxim
Planteja-ho amb les dues condicions. Es volen entrades i el cost no pot passar de euros, als preus inicials:
Substitueix a la inequació.
de manera que
Es poden comprar com a màxim 12 entrades ordinàries (i per tant reduïdes).
Comprovació del cas límit.
Just el pressupost, de manera que el hi entra: la desigualtat no és estricta.
Comprovació del cas següent. Amb ordinàries i reduïdes:
Es passaria del pressupost ✓ El és efectivament el màxim.
Per què l'extrem s'inclou aquí. Perquè la condició és «pressupost màxim de », és a dir menor o igual. Si l'enunciat digués «menys de euros», el quedaria fora i la resposta seria . És exactament la distinció entre i del tema d'inequacions, i aquí canvia la resposta.
Comparació amb l'apartat 2. Amb euros es podien comprar ordinàries; amb , només . Sis euros menys de pressupost costen dues entrades ordinàries, perquè cada ordinària que es canvia per una reduïda estalvia exactament euros.
Aquesta lectura val la pena. El coeficient de la inequació és la diferència de preu entre les dues categories, i és el que determina la sensibilitat del problema: amb categories de preus més semblants, el pressupost permetria més variacions.
Extensió: classificar el sistema del problema
Què passaria si l'enunciat digués que es paguen euros per entrades? I si digués ?
Cas de euros. El sistema seria
Substituint: , de manera que i
El sistema té solució matemàtica, però no solució al problema: no es poden comprar entrades. La resposta correcta és que amb aquests preus no es pot arribar a euros exactes amb entrades.
Per què. Els costos possibles amb entrades són amb enter de a , és a dir : només múltiples de a partir de . I no és d'aquesta llista, perquè no és múltiple de .
Cas de euros. Substituint: , de manera que i . Totes les entrades reduïdes, i és una solució perfectament vàlida: ✓
El límit superior. Amb el cost seria euros, de manera que qualsevol total fora de l'interval tampoc no té solució.
Què mostra aquesta extensió. Que un sistema pot tenir solució única com a sistema i cap solució com a problema, perquè el context exigeix enters dins d'un rang. Aquesta comprovació final, que el tema de plantejar problemes anomena interpretar la solució, és el que converteix un càlcul en una resposta.
I una observació sobre la divisibilitat. El fet que els costos possibles siguin múltiples de surt de la diferència de preus entre les dues categories. És el bloc de nombres aparegut dins d'un problema d'àlgebra, i és la mena de connexió que fa que les situacions de connexió valguin la pena.
Què s'ha fet servir de cada tema
Plantejar problemes amb equacions (tema 7): definir les incògnites amb unitats, traduir les dues condicions i interpretar la solució en el context.
Sistemes de dues equacions (tema 9): el nucli dels apartats 1 i 2, amb la comprovació obligatòria a les dues equacions.
Inequacions (tema 10): l'apartat del pressupost màxim, amb la decisió sobre si l'extrem s'inclou i l'arrodoniment cap avall.
Equacions de primer grau (temes 5 i 6): la resolució després de substituir.
Llenguatge algebraic (tema 1): escriure i la funció de cost , i llegir el significat dels seus coeficients.
I de fora del bloc: la divisibilitat de l'extensió ve del bloc de nombres, i la mitjana ponderada de la pujada de preus, del bloc d'estadística.
La idea transversal: un problema de dues incògnites es resol amb dues condicions, però la resposta no és el que surt de l'equació: és el que surt de l'equació filtrat pel context. Enters, no negatius, dins del rang possible i complint totes les restriccions de l'enunciat.