Multiplicar i dividir fraccions: el recíproc i les operacions combinades

Multiplicar fraccions és més fàcil que sumar-les: no cal cap denominador comú. I dividir-les és multiplicar amb un petit gir. El que costa d'aquest tema no és el càlcul, és entendre per què funciona, i sobretot acceptar que dividir pot fer el resultat més gran.

El que has de dominar abans: el significat i l'equivalència de fraccions.

Multiplicar

Es multipliquen els numeradors entre ells i els denominadors entre ells:

$$\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d} = \frac{a\cdot c}{b\cdot d}.$$

Què vol dir. Multiplicar per una fracció és prendre'n una part. La paraula «de» dels problemes és un «per»:

$$\frac23 \text{ de } \frac34 = \frac23\cdot\frac34 = \frac{6}{12} = \frac12.$$

Dos terços de tres quarts de pizza són mitja pizza. Pots dibuixar-ho i comprovar-ho.

Simplifica abans de multiplicar. Pots cancel·lar qualsevol numerador amb qualsevol denominador del producte, encara que siguin de fraccions diferents. Fer-ho abans t'estalvia treballar amb números grans:

$$\frac{3}{5}\cdot\frac{10}{9}$$

Aquí el $3$ es cancel·la amb el $9$ (queda $1$ i $3$) i el $5$ amb el $10$ (queda $1$ i $2$), i et queda $\dfrac{2}{3}$ directament.

Dividir

$$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c} \qquad (c\neq 0).$$

El recíproc d'una fracció és la mateixa fracció del revés. Dividir per una fracció és multiplicar pel seu recíproc.

Per què funciona. Dividir $A$ entre $B$ és preguntar quantes vegades hi cap $B$ dins d'$A$. Mira-ho amb números fàcils:

$$\frac34 : \frac18 = 6.$$

En tres quarts de pizza, hi caben sis vuitens. Compta-ho amb un dibuix: cada quart són dos vuitens, i tres quarts són sis vuitens. El resultat és correcte, i és més gran que el nombre de partida.

Operacions combinades

La prioritat és la de sempre: parèntesis, després potències, després multiplicacions i divisions d'esquerra a dreta, i al final sumes i restes.

I un avís que connecta amb el tema anterior: la simplificació val per a factors, no per a sumandes. En una expressió com $\dfrac{3+5}{3}$ no pots cancel·lar els tresos.

Exercici resolt: divisió amb un parèntesi

Calcula $\dfrac34 : \left(\dfrac12 + \dfrac14\right)$.

Pas 1 — el parèntesi. Denominador comú $4$:

$$\frac12 + \frac14 = \frac24 + \frac14 = \frac34.$$

Pas 2 — la divisió.

$$\frac34 : \frac34 = \frac34\cdot\frac43 = \frac{12}{12} = 1.$$

Resposta: $1$.

Hi havia una drecera. Un cop vist que el parèntesi dona exactament $\frac34$, podies respondre directament: qualsevol nombre dividit per ell mateix dona $1$. Mirar el resultat abans de llançar-se al càlcul de vegades estalvia tota la feina.

Exercici resolt: quants recipients s'omplen

Quants recipients de $\dfrac38$ de litre es poden omplir amb $\dfrac32$ litres?

Quina operació és. Et pregunten quantes vegades hi cap $\frac38$ dins de $\frac32$. Això és una divisió:

$$\frac32 : \frac38 = \frac32\cdot\frac83.$$

Simplificant en creu (el $3$ amb el $3$):

$$= \frac{1\cdot 8}{2\cdot 1} = \frac82 = 4.$$

Resposta: 4 recipients.

Per què no s'ha de multiplicar. Si multipliquessis $\frac32\cdot\frac38 = \frac{9}{16}$, obtindries «tres vuitens de litre i mig», que no respon a res del que et preguntaven. La pista per distingir-ho és la paraula clau de l'enunciat: «quants hi caben» és sempre una divisió; «quina part de» és una multiplicació.

Comprovació: $4$ recipients de $\frac38$ fan $4\cdot\frac38 = \frac{12}{8} = \frac32$ litres ✓. Exactament el que teníem.

Per què dividir és multiplicar pel recíproc

El mètode es memoritza en un segon, però entendre'l fa que no l'apliquis al revés mai més.

Una divisió es pot escriure com una fracció de fraccions. Dividir $\frac{a}{b}$ entre $\frac{c}{d}$ és el mateix que la fracció

$$\frac{\ \frac{a}{b}\ }{\ \frac{c}{d}\ }.$$

Ara fes servir el que ja saps: multiplicar numerador i denominador pel mateix nombre no canvia el valor. Multiplica tots dos per $\frac{d}{c}$. A baix, $\frac{c}{d}\cdot\frac{d}{c} = 1$, i el denominador desapareix. A dalt et queda $\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}$, que és exactament la regla.

Dit en paraules: el recíproc apareix perquè és el que fa desaparèixer el denominador. I això explica per què només es gira la segona fracció: és la que estava a baix.

Dos significats que es confonen

Hi ha una distinció que decideix si un problema és de multiplicar o de dividir, i convé tenir-la explícita.

«Quina part de» és una multiplicació. «Tres quartes parts de vint litres» són $20\cdot\frac34 = 15$ litres. La fracció actua com un operador que redueix (o amplia) una quantitat.

«Quantes vegades hi cap» és una divisió. «Quants gots de tres quarts de litre puc omplir amb vint litres» és $20:\frac34 \approx 26$. Aquí la fracció és la unitat de mesura amb què comptes.

Fixa't que les dues preguntes parteixen dels mateixos números i donen resultats completament diferents, un més petit que el total i l'altre més gran. Quan un problema et surt i no saps si has de multiplicar o dividir, reescriu l'enunciat amb una d'aquestes dues frases i ho veuràs de seguida.

Una comprovació final que mai no falla: estima si el resultat ha de ser més gran o més petit que el nombre de partida. Si multipliques per una fracció menor que $1$, el resultat ha de minvar; si divideixes per una fracció menor que $1$, ha de créixer. Si et surt el contrari, has invertit l'operació.

On ho faràs servir

Aquest tema és el que fa possibles els percentatges, les escales de mapes, les proporcions de receptes i les conversions d'unitats. Totes aquestes coses són, per sota, multiplicar o dividir per una fracció.

També és la base del càlcul amb fraccions algebraiques: simplificar $\frac{x^{2}-1}{x+1}$ és exactament la simplificació en creu que has fet aquí, amb factors que ara són polinomis. I la regla de dividir per una fracció és la que fas servir per netejar denominadors en una equació.

Si domines dues coses d'aquest tema, que siguin simplificar abans de multiplicar i distingir «part de» de «quantes vegades hi cap». Amb això tens resolta la major part dels problemes.