Repte del bloc: comparar dues ofertes

⏱ 6 min de lecturaESO

Aquesta situació és el bloc sencer en una decisió de compra: factors multiplicatius, rebaixes en cadena, un descompte equivalent i una comparació que depèn del preu de partida. L'últim apartat és el que separa un càlcul d'una anàlisi.

El que has de dominar abans: tot el bloc de proporcionalitat, especialment els canvis percentuals.

La situació

Una motxilla costa 80 euros a dues botigues.

La botiga A aplica una rebaixa del $20\,\%$ i cobra 5 euros d'enviament.

La botiga B aplica dues rebaixes successives del $10\,\%$ i ofereix enviament gratuït.

1. Calcula els dos imports finals i compara'ls.

2. Quin descompte únic equival a les dues rebaixes de B?

3. Si el preu inicial fos $x$ , a partir de quin preu seria més barata A?

L'estratègia

Escriu els factors abans de calcular res. Una rebaixa del $20\,\%$ és multiplicar per $0{,}8$ ; una del $10\,\%$ , per $0{,}9$ . Amb els factors escrits, la resta és multiplicar.

L'enviament NO és un factor. És una quantitat fixa que se suma al final, i això és el que fa que la comparació depengui del preu. Si totes dues ofertes fossin només percentatges, la més barata seria sempre la mateixa.

L'últim apartat no és un càlcul, és una condició. Et demanen a partir de quin preu convé A, i això es planteja amb una inequació.

Dues rebaixes del 10 % no són una del 20 %

0{,}9\cdot 0{,}9 = 0{,}81,

de manera que les dues rebaixes del $10\,\%$ equivalen a una del $19\,\%$ , no del $20\,\%$ .

El motiu és el del tema de canvis percentuals: la segona rebaixa s'aplica a un preu ja rebaixat, que és més petit, i per tant els seus $10\,\%$ són menys euros.

I la conseqüència comercial és interessant: una botiga pot anunciar «dos descomptes del $10\,\%$ » i sonar més generosa que una que anuncia un $20\,\%$ directe, quan en realitat ofereix menys. L'única manera de comparar és multiplicar els factors.

Apartat 1: els dos imports finals

Botiga A. Rebaixa del $20\,\%$ i després l'enviament:

80\cdot 0{,}8 = 64, \qquad 64 + 5 = 69 \ \text{euros}.

Botiga B. Dues rebaixes del $10\,\%$ , sense enviament:

80\cdot 0{,}9\cdot 0{,}9 = 80\cdot 0{,}81 = 64{,}80 \ \text{euros}.

Guanya B, amb $64{,}80$ euros enfront dels $69$ d'A.

Val la pena aturar-se aquí, perquè el resultat va contra la intuïció: A ofereix una rebaixa més gran ( $20\,\%$ contra un $19\,\%$ efectiu) i tot i així surt més cara.

Per què. La rebaixa d'A estalvia $16$ euros i la de B n'estalvia $15{,}20$ : A estalvia $0{,}80$ euros més en la rebaixa. Però A cobra $5$ euros d'enviament. Els $5$ euros fixos es mengen amb escreix els $80$ cèntims d'avantatge.

La diferència final.

69 - 64{,}80 = 4{,}20 \ \text{euros}.

La lliçó de l'apartat. Comparar només els percentatges anunciats porta a la conclusió equivocada. El que decideix és l'import final, amb totes les despeses incloses.

Apartat 2: el descompte únic equivalent

Calcula el factor global de B.

0{,}9\cdot 0{,}9 = 0{,}81.

Llegeix-lo com un descompte. Si el preu final és el $81\,\%$ de l'inicial, s'ha rebaixat el

100 - 81 = 19\,\%.

El descompte únic equivalent a les dues rebaixes de B és del $19\,\%$ .

Comprovació directa.

80\cdot 0{,}81 = 64{,}80 \quad\checkmark

El mateix import que per les dues rebaixes separades.

Comprovació en euros. La primera rebaixa treu $8$ euros ( $10\,\%$ de $80$ ) i deixa el preu a $72$ . La segona treu $7{,}20$ euros ( $10\,\%$ de $72$ ) i deixa $64{,}80$ . En total s'han rebaixat $15{,}20$ euros, que sobre $80$ són

\frac{15{,}20}{80} = 0{,}19 = 19\,\% \quad\checkmark

Per què falta aquest $1\,\%$ . Perquè la segona rebaixa es calcula sobre $72$ i no sobre $80$ . La diferència és el $10\,\%$ dels $8$ euros ja rebaixats, és a dir $0{,}80$ euros, que sobre $80$ són precisament l' $1\,\%$ que falta.

La fórmula general, que val la pena reconèixer: dues rebaixes de $p\,\%$ i $q\,\%$ equivalen a una de

p + q - \frac{p\,q}{100}\,\%.

Amb $p = q = 10$ : $10 + 10 - 1 = 19$ ✓ El terme que es resta és exactament el solapament.

Compara imports finals, no percentatges

Davant de dues ofertes, calcula quants euros pagues amb cada una, incloent-hi enviaments, comissions i impostos.

Els percentatges anunciats estan triats per sonar bé, i les quantitats fixes (enviament, quota, comissió) no es veuen al titular però poden girar completament el resultat. És el mateix criteri del tema d'interessos amb la comissió.

Apartat 3: a partir de quin preu convé A

Escriu els dos imports en funció del preu inicial $x$ .

A(x) = 0{,}8\,x + 5, \qquad B(x) = 0{,}81\,x.

Fixa't en l'estructura. $A$ és una funció afí (té un terme fix de $5$ ) i $B$ és lineal (passa per l'origen). És exactament la distinció del primer tema del bloc.

Planteja la condició. A és més barata quan

0{,}8\,x + 5 < 0{,}81\,x.

Resol.

5 < 0{,}81x - 0{,}8x = 0{,}01\,x \qquad\Longrightarrow\qquad x > 500.

A és més barata per a preus superiors a 500 euros.

Comprovació amb $x = 600$ .

A(600) = 480 + 5 = 485, \qquad B(600) = 486.

Efectivament guanya A ✓

Comprovació amb $x = 400$ .

A(400) = 320 + 5 = 325, \qquad B(400) = 324.

Guanya B ✓

Comprovació al punt d'empat. A $x = 500$ : $A = 405$ i $B = 405$ . Empaten exactament ✓

Per què el llindar és tan alt. L'avantatge d'A en la rebaixa és només de l' $1\,\%$ del preu, i ha de compensar 5 euros fixos. Per tant cal que l' $1\,\%$ del preu passi de $5$ euros, és a dir que el preu passi de $500$ .

La interpretació pràctica. Per a una motxilla de $80$ euros, la botiga A no és competitiva de cap manera: hauria de ser una compra sis vegades més cara. L'enviament fix és el que decideix, i això és un patró general: les despeses fixes pesen molt en compres petites i poc en compres grans, exactament com la comissió del tema d'interessos i la quota del tema de proporcionalitat directa.

Extensió: i si B també cobrés enviament?

Suposem que B cobra $3$ euros d'enviament. Refés la comparació i el llindar.

Els nous imports.

A(x) = 0{,}8\,x + 5, \qquad B(x) = 0{,}81\,x + 3.

Per a la motxilla de $80$ euros.

A(80) = 69, \qquad B(80) = 64{,}80 + 3 = 67{,}80.

Continua guanyant B, però la diferència s'ha reduït de $4{,}20$ a $1{,}20$ euros.

El nou llindar. A és més barata quan

0{,}8x + 5 < 0{,}81x + 3 \qquad\Longrightarrow\qquad 2 < 0{,}01x \qquad\Longrightarrow\qquad x > 200.

El llindar ha baixat de $500$ a $200$ euros.

Per què. El que ha de compensar l' $1\,\%$ d'avantatge d'A ja no són $5$ euros sinó només la diferència d'enviaments, que és $5 - 3 = 2$ euros. I $2$ euros són l' $1\,\%$ de $200$ .

Comprovació amb $x = 300$ . $A = 245$ i $B = 246$ : guanya A ✓ I amb $x = 100$ : $A = 85$ i $B = 84$ : guanya B ✓

La generalització. Amb $A(x) = a\,x + c_A$ i $B(x) = b\,x + c_B$ , el llindar és

x > \frac{c_A - c_B}{b - a},

sempre que $b > a$ . És el punt d'intersecció de les dues rectes, i és el que el bloc de funcions anomena punt d'empat.

El que mostra aquesta extensió. El llindar no depèn dels enviaments per separat sinó de la seva diferència, i no depèn dels descomptes per separat sinó de la diferència dels seus factors. Dos números dels quatre de l'enunciat no importen per si mateixos: només importa com es comparen entre ells.

Què s'ha fet servir de cada tema

Canvis percentuals (tema 5): els factors multiplicatius, les rebaixes successives i el descompte equivalent. És el nucli del repte.

Proporcionalitat directa i models afins (tema 1): la distinció entre $B(x) = 0{,}81x$ , que és proporcional, i $A(x) = 0{,}8x + 5$ , que no ho és per culpa de l'enviament. Aquesta distinció és la que explica tot l'apartat 3.

Percentatges (tema 4): llegir un factor com un descompte i al revés.

Interessos i decisions econòmiques (tema 7): el criteri de comparar imports finals amb les mateixes condicions, i l'efecte d'una despesa fixa segons la mida de l'operació.

I una connexió cap endavant: l'apartat 3 és una inequació (bloc d'àlgebra) i la seva lectura gràfica és la intersecció de dues rectes (bloc de funcions). La mateixa pregunta es pot respondre algebraicament o dibuixant les dues rectes i mirant quina queda per sota a cada tram.

La idea per endur-se'n: en qualsevol comparació d'ofertes, el percentatge anunciat és la part visible i les quantitats fixes són la que decideix. Calcular l'import final amb el teu preu i el teu termini és l'única comparació que respon a la pregunta.