Exercicis de rectes i plans

L'equació general d'un pla és $ax + by + cz + d = 0$, i el més important d'aquesta forma és que $(a, b, c)$ és el vector normal, és a dir, el vector perpendicular al pla.

Com que el normal és $(-3, 1, 4)$, ja tenim tres coeficients:

$- 3x + y + 4z + d = 0$

Ens falta la $d$, i la trobem obligant el pla a passar pel punt $P(-1, 2, 0)$. Substituïm $x = -1$, $y = 2$, $z = 0$:

$(-3)(-1) + (1)(2) + (4)(0) + d = 0$

$3 + 2 + 0 + d = 5 + d = 0 \quad\Longrightarrow\quad d = -5$

Comprovar si un punt és en un pla és sempre el mateix: substituir i mirar si dona zero.

$(3)(0) + (-2)(-2) + (3)(2) + (-2)$

$= 0 + 4 + 6 - 2 = 8$

Dona $8$, que no és zero: el punt $P$ no pertany al pla.

El vector director d'una recta que passa per dos punts és el vector que va d'un a l'altre, i es calcula restant les coordenades: el d'arribada menys el de sortida.

$\overrightarrow{AB} = B - A = (1 - 0,\ 3 - 3,\ 0 - 0)$

$= (1, 0, 0)$

La segona component és $0$.

L'ordre importa per al signe: $\overrightarrow{BA}$ seria el mateix vector però amb tots els signes canviats. Per a la recta serveixen igual tots dos, perquè només marquen la direcció.

L'equació general d'un pla és $ax + by + cz + d = 0$, i el més important d'aquesta forma és que $(a, b, c)$ és el vector normal, és a dir, el vector perpendicular al pla.

Com que el normal és $(3, 3, 2)$, ja tenim tres coeficients:

$3x + 3y + 2z + d = 0$

Ens falta la $d$, i la trobem obligant el pla a passar pel punt $P(3, -2, 2)$. Substituïm $x = 3$, $y = -2$, $z = 2$:

$(3)(3) + (3)(-2) + (2)(2) + d = 0$

$9 - 6 + 4 + d = 7 + d = 0 \quad\Longrightarrow\quad d = -7$

Comprovar si un punt és en un pla és sempre el mateix: substituir i mirar si dona zero.

$(-3)(2) + (-1)(0) + (3)(-1) + (-4)$

$= -6 + 0 - 3 - 4 = -13$

Dona $-13$, que no és zero: el punt $P$ no pertany al pla.

El vector director d'una recta que passa per dos punts és el vector que va d'un a l'altre, i es calcula restant les coordenades: el d'arribada menys el de sortida.

$\overrightarrow{AB} = B - A = (1 - (-1),\ 2 - 1,\ -1 - 1)$

$= (2, 1, -2)$

La tercera component és $-2$.

L'ordre importa per al signe: $\overrightarrow{BA}$ seria el mateix vector però amb tots els signes canviats. Per a la recta serveixen igual tots dos, perquè només marquen la direcció.

L'equació general d'un pla és $ax + by + cz + d = 0$, i el més important d'aquesta forma és que $(a, b, c)$ és el vector normal, és a dir, el vector perpendicular al pla.

Com que el normal és $(4, 2, -3)$, ja tenim tres coeficients:

$4x + 2y - 3z + d = 0$

Ens falta la $d$, i la trobem obligant el pla a passar pel punt $P(3, -2, 3)$. Substituïm $x = 3$, $y = -2$, $z = 3$:

$(4)(3) + (2)(-2) + (-3)(3) + d = 0$

$12 - 4 - 9 + d = -1 + d = 0 \quad\Longrightarrow\quad d = 1$

Comprovar si un punt és en un pla és sempre el mateix: substituir i mirar si dona zero.

$(3)(2) + (-3)(3) + (2)(3) + (-2)$

$= 6 - 9 + 6 - 2 = 1$

Dona $1$, que no és zero: el punt $P$ no pertany al pla.

El vector director d'una recta que passa per dos punts és el vector que va d'un a l'altre, i es calcula restant les coordenades: el d'arribada menys el de sortida.

$\overrightarrow{AB} = B - A = (-2 - 0,\ -2 - 2,\ 1 - 3)$

$= (-2, -4, -2)$

La segona component és $-4$.

L'ordre importa per al signe: $\overrightarrow{BA}$ seria el mateix vector però amb tots els signes canviats. Per a la recta serveixen igual tots dos, perquè només marquen la direcció.

L'equació general d'un pla és $ax + by + cz + d = 0$, i el més important d'aquesta forma és que $(a, b, c)$ és el vector normal, és a dir, el vector perpendicular al pla.

Com que el normal és $(-3, 2, 4)$, ja tenim tres coeficients:

$- 3x + 2y + 4z + d = 0$

Ens falta la $d$, i la trobem obligant el pla a passar pel punt $P(-2, -1, 3)$. Substituïm $x = -2$, $y = -1$, $z = 3$:

$(-3)(-2) + (2)(-1) + (4)(3) + d = 0$

$6 - 2 + 12 + d = 16 + d = 0 \quad\Longrightarrow\quad d = -16$