Exercicis de rectes i plans

L'equació general d'un pla és $ax + by + cz + d = 0$, i el més important d'aquesta forma és que $(a, b, c)$ és el vector normal, és a dir, el vector perpendicular al pla.

Com que el normal és $(3, -3, -3)$, ja tenim tres coeficients:

$3x - 3y - 3z + d = 0$

Ens falta la $d$, i la trobem obligant el pla a passar pel punt $P(-2, 3, -1)$. Substituïm $x = -2$, $y = 3$, $z = -1$:

$(3)(-2) + (-3)(3) + (-3)(-1) + d = 0$

$-6 - 9 + 3 + d = -12 + d = 0 \quad\Longrightarrow\quad d = 12$

Comprovar si un punt és en un pla és sempre el mateix: substituir i mirar si dona zero.

$(4)(2) + (2)(0) + (-2)(3) + (-2)$

$= 8 + 0 - 6 - 2 = 0$

Dona zero, o sigui que el punt $P$ sí que pertany al pla.

El vector director d'una recta que passa per dos punts és el vector que va d'un a l'altre, i es calcula restant les coordenades: el d'arribada menys el de sortida.

$\overrightarrow{AB} = B - A = (2 - (-1),\ -2 - 3,\ 1 - 1)$

$= (3, -5, 0)$

La primera component és $3$.

L'ordre importa per al signe: $\overrightarrow{BA}$ seria el mateix vector però amb tots els signes canviats. Per a la recta serveixen igual tots dos, perquè només marquen la direcció.

L'equació general d'un pla és $ax + by + cz + d = 0$, i el més important d'aquesta forma és que $(a, b, c)$ és el vector normal, és a dir, el vector perpendicular al pla.

Com que el normal és $(3, 3, -2)$, ja tenim tres coeficients:

$3x + 3y - 2z + d = 0$

Ens falta la $d$, i la trobem obligant el pla a passar pel punt $P(2, -2, 0)$. Substituïm $x = 2$, $y = -2$, $z = 0$:

$(3)(2) + (3)(-2) + (-2)(0) + d = 0$

$6 - 6 + 0 + d = 0 + d = 0 \quad\Longrightarrow\quad d = 0$

Comprovar si un punt és en un pla és sempre el mateix: substituir i mirar si dona zero.

$(-2)(-2) + (3)(2) + (-2)(1) + (-4)$

$= 4 + 6 - 2 - 4 = 4$

Dona $4$, que no és zero: el punt $P$ no pertany al pla.

El vector director d'una recta que passa per dos punts és el vector que va d'un a l'altre, i es calcula restant les coordenades: el d'arribada menys el de sortida.

$\overrightarrow{AB} = B - A = (-1 - (-1),\ 1 - 2,\ -1 - 1)$

$= (0, -1, -2)$

La tercera component és $-2$.

L'ordre importa per al signe: $\overrightarrow{BA}$ seria el mateix vector però amb tots els signes canviats. Per a la recta serveixen igual tots dos, perquè només marquen la direcció.

L'equació general d'un pla és $ax + by + cz + d = 0$, i el més important d'aquesta forma és que $(a, b, c)$ és el vector normal, és a dir, el vector perpendicular al pla.

Com que el normal és $(-1, 4, -2)$, ja tenim tres coeficients:

$- x + 4y - 2z + d = 0$

Ens falta la $d$, i la trobem obligant el pla a passar pel punt $P(1, -2, -1)$. Substituïm $x = 1$, $y = -2$, $z = -1$:

$(-1)(1) + (4)(-2) + (-2)(-1) + d = 0$

$-1 - 8 + 2 + d = -7 + d = 0 \quad\Longrightarrow\quad d = 7$

Comprovar si un punt és en un pla és sempre el mateix: substituir i mirar si dona zero.

$(4)(-1) + (1)(2) + (2)(-1) + (5)$

$= -4 + 2 - 2 + 5 = 1$

Dona $1$, que no és zero: el punt $P$ no pertany al pla.

El vector director d'una recta que passa per dos punts és el vector que va d'un a l'altre, i es calcula restant les coordenades: el d'arribada menys el de sortida.

$\overrightarrow{AB} = B - A = (0 - 1,\ 2 - 2,\ 0 - (-2))$

$= (-1, 0, 2)$

La primera component és $-1$.

L'ordre importa per al signe: $\overrightarrow{BA}$ seria el mateix vector però amb tots els signes canviats. Per a la recta serveixen igual tots dos, perquè només marquen la direcció.

L'equació general d'un pla és $ax + by + cz + d = 0$, i el més important d'aquesta forma és que $(a, b, c)$ és el vector normal, és a dir, el vector perpendicular al pla.

Com que el normal és $(3, 2, 3)$, ja tenim tres coeficients:

$3x + 2y + 3z + d = 0$

Ens falta la $d$, i la trobem obligant el pla a passar pel punt $P(3, -1, 2)$. Substituïm $x = 3$, $y = -1$, $z = 2$:

$(3)(3) + (2)(-1) + (3)(2) + d = 0$

$9 - 2 + 6 + d = 13 + d = 0 \quad\Longrightarrow\quad d = -13$