Exercicis de rectes i plans

Comprovar si un punt és en un pla és sempre el mateix: substituir i mirar si dona zero.

$(3)(-2) + (3)(0) + (-1)(2) + (3)$

$= -6 + 0 - 2 + 3 = -5$

Dona $-5$, que no és zero: el punt $P$ no pertany al pla.

El vector director d'una recta que passa per dos punts és el vector que va d'un a l'altre, i es calcula restant les coordenades: el d'arribada menys el de sortida.

$\overrightarrow{AB} = B - A = (-1 - 1,\ -2 - (-2),\ 3 - 2)$

$= (-2, 0, 1)$

La segona component és $0$.

L'ordre importa per al signe: $\overrightarrow{BA}$ seria el mateix vector però amb tots els signes canviats. Per a la recta serveixen igual tots dos, perquè només marquen la direcció.

L'equació general d'un pla és $ax + by + cz + d = 0$, i el més important d'aquesta forma és que $(a, b, c)$ és el vector normal, és a dir, el vector perpendicular al pla.

Com que el normal és $(1, -1, -1)$, ja tenim tres coeficients:

$x - y - z + d = 0$

Ens falta la $d$, i la trobem obligant el pla a passar pel punt $P(-2, -1, -1)$. Substituïm $x = -2$, $y = -1$, $z = -1$:

$(1)(-2) + (-1)(-1) + (-1)(-1) + d = 0$

$-2 + 1 + 1 + d = 0 + d = 0 \quad\Longrightarrow\quad d = 0$

Comprovar si un punt és en un pla és sempre el mateix: substituir i mirar si dona zero.

$(4)(-2) + (-2)(1) + (4)(-2) + (-2)$

$= -8 - 2 - 8 - 2 = -20$

Dona $-20$, que no és zero: el punt $P$ no pertany al pla.

El vector director d'una recta que passa per dos punts és el vector que va d'un a l'altre, i es calcula restant les coordenades: el d'arribada menys el de sortida.

$\overrightarrow{AB} = B - A = (1 - (-1),\ 1 - (-2),\ 1 - 0)$

$= (2, 3, 1)$

La primera component és $2$.

L'ordre importa per al signe: $\overrightarrow{BA}$ seria el mateix vector però amb tots els signes canviats. Per a la recta serveixen igual tots dos, perquè només marquen la direcció.

L'equació general d'un pla és $ax + by + cz + d = 0$, i el més important d'aquesta forma és que $(a, b, c)$ és el vector normal, és a dir, el vector perpendicular al pla.

Com que el normal és $(-2, -2, 1)$, ja tenim tres coeficients:

$- 2x - 2y + z + d = 0$

Ens falta la $d$, i la trobem obligant el pla a passar pel punt $P(-2, 1, -1)$. Substituïm $x = -2$, $y = 1$, $z = -1$:

$(-2)(-2) + (-2)(1) + (1)(-1) + d = 0$

$4 - 2 - 1 + d = 1 + d = 0 \quad\Longrightarrow\quad d = -1$

Comprovar si un punt és en un pla és sempre el mateix: substituir i mirar si dona zero.

$(-2)(1) + (1)(1) + (1)(0) + (1)$

$= -2 + 1 + 0 + 1 = 0$

Dona zero, o sigui que el punt $P$ sí que pertany al pla.

El vector director d'una recta que passa per dos punts és el vector que va d'un a l'altre, i es calcula restant les coordenades: el d'arribada menys el de sortida.

$\overrightarrow{AB} = B - A = (1 - 2,\ 1 - 0,\ 3 - 2)$

$= (-1, 1, 1)$

La segona component és $1$.

L'ordre importa per al signe: $\overrightarrow{BA}$ seria el mateix vector però amb tots els signes canviats. Per a la recta serveixen igual tots dos, perquè només marquen la direcció.

L'equació general d'un pla és $ax + by + cz + d = 0$, i el més important d'aquesta forma és que $(a, b, c)$ és el vector normal, és a dir, el vector perpendicular al pla.

Com que el normal és $(1, 1, 2)$, ja tenim tres coeficients:

$x + y + 2z + d = 0$

Ens falta la $d$, i la trobem obligant el pla a passar pel punt $P(-1, 1, 2)$. Substituïm $x = -1$, $y = 1$, $z = 2$:

$(1)(-1) + (1)(1) + (2)(2) + d = 0$

$-1 + 1 + 4 + d = 4 + d = 0 \quad\Longrightarrow\quad d = -4$

Comprovar si un punt és en un pla és sempre el mateix: substituir i mirar si dona zero.

$(3)(1) + (-1)(3) + (-3)(3) + (3)$

$= 3 - 3 - 9 + 3 = -6$

Dona $-6$, que no és zero: el punt $P$ no pertany al pla.