Exercicis de rectes i plans

Comprovar si un punt és en un pla és sempre el mateix: substituir i mirar si dona zero.

$(-2)(-1) + (-2)(-2) + (3)(-2) + (3)$

$= 2 + 4 - 6 + 3 = 3$

Dona $3$, que no és zero: el punt $P$ no pertany al pla.

El vector director d'una recta que passa per dos punts és el vector que va d'un a l'altre, i es calcula restant les coordenades: el d'arribada menys el de sortida.

$\overrightarrow{AB} = B - A = (0 - 2,\ 1 - 3,\ -1 - 1)$

$= (-2, -2, -2)$

La primera component és $-2$.

L'ordre importa per al signe: $\overrightarrow{BA}$ seria el mateix vector però amb tots els signes canviats. Per a la recta serveixen igual tots dos, perquè només marquen la direcció.

L'equació general d'un pla és $ax + by + cz + d = 0$, i el més important d'aquesta forma és que $(a, b, c)$ és el vector normal, és a dir, el vector perpendicular al pla.

Com que el normal és $(2, 2, -3)$, ja tenim tres coeficients:

$2x + 2y - 3z + d = 0$

Ens falta la $d$, i la trobem obligant el pla a passar pel punt $P(-1, 3, -2)$. Substituïm $x = -1$, $y = 3$, $z = -2$:

$(2)(-1) + (2)(3) + (-3)(-2) + d = 0$

$-2 + 6 + 6 + d = 10 + d = 0 \quad\Longrightarrow\quad d = -10$

Comprovar si un punt és en un pla és sempre el mateix: substituir i mirar si dona zero.

$(-2)(3) + (-1)(2) + (-2)(-2) + (3)$

$= -6 - 2 + 4 + 3 = -1$

Dona $-1$, que no és zero: el punt $P$ no pertany al pla.

El vector director d'una recta que passa per dos punts és el vector que va d'un a l'altre, i es calcula restant les coordenades: el d'arribada menys el de sortida.

$\overrightarrow{AB} = B - A = (3 - (-2),\ 3 - (-1),\ -2 - 2)$

$= (5, 4, -4)$

La segona component és $4$.

L'ordre importa per al signe: $\overrightarrow{BA}$ seria el mateix vector però amb tots els signes canviats. Per a la recta serveixen igual tots dos, perquè només marquen la direcció.

L'equació general d'un pla és $ax + by + cz + d = 0$, i el més important d'aquesta forma és que $(a, b, c)$ és el vector normal, és a dir, el vector perpendicular al pla.

Com que el normal és $(-1, 4, 3)$, ja tenim tres coeficients:

$- x + 4y + 3z + d = 0$

Ens falta la $d$, i la trobem obligant el pla a passar pel punt $P(0, -1, 1)$. Substituïm $x = 0$, $y = -1$, $z = 1$:

$(-1)(0) + (4)(-1) + (3)(1) + d = 0$

$0 - 4 + 3 + d = -1 + d = 0 \quad\Longrightarrow\quad d = 1$

Comprovar si un punt és en un pla és sempre el mateix: substituir i mirar si dona zero.

$(-3)(-2) + (3)(-1) + (-3)(-2) + (3)$

$= 6 - 3 + 6 + 3 = 12$

Dona $12$, que no és zero: el punt $P$ no pertany al pla.

El vector director d'una recta que passa per dos punts és el vector que va d'un a l'altre, i es calcula restant les coordenades: el d'arribada menys el de sortida.

$\overrightarrow{AB} = B - A = (3 - (-1),\ 0 - 1,\ 1 - 3)$

$= (4, -1, -2)$

La primera component és $4$.

L'ordre importa per al signe: $\overrightarrow{BA}$ seria el mateix vector però amb tots els signes canviats. Per a la recta serveixen igual tots dos, perquè només marquen la direcció.

L'equació general d'un pla és $ax + by + cz + d = 0$, i el més important d'aquesta forma és que $(a, b, c)$ és el vector normal, és a dir, el vector perpendicular al pla.

Com que el normal és $(1, 2, -2)$, ja tenim tres coeficients:

$x + 2y - 2z + d = 0$

Ens falta la $d$, i la trobem obligant el pla a passar pel punt $P(-2, 2, 3)$. Substituïm $x = -2$, $y = 2$, $z = 3$:

$(1)(-2) + (2)(2) + (-2)(3) + d = 0$

$-2 + 4 - 6 + d = -4 + d = 0 \quad\Longrightarrow\quad d = 4$

Comprovar si un punt és en un pla és sempre el mateix: substituir i mirar si dona zero.

$(1)(1) + (-1)(3) + (1)(1) + (5)$

$= 1 - 3 + 1 + 5 = 4$

Dona $4$, que no és zero: el punt $P$ no pertany al pla.