Exercicis de rectes i plans

Comprovar si un punt és en un pla és sempre el mateix: substituir i mirar si dona zero.

$(4)(-2) + (-2)(-1) + (1)(1) + (3)$

$= -8 + 2 + 1 + 3 = -2$

Dona $-2$, que no és zero: el punt $P$ no pertany al pla.

El vector director d'una recta que passa per dos punts és el vector que va d'un a l'altre, i es calcula restant les coordenades: el d'arribada menys el de sortida.

$\overrightarrow{AB} = B - A = (1 - 3,\ 1 - 3,\ -2 - 2)$

$= (-2, -2, -4)$

La primera component és $-2$.

L'ordre importa per al signe: $\overrightarrow{BA}$ seria el mateix vector però amb tots els signes canviats. Per a la recta serveixen igual tots dos, perquè només marquen la direcció.

L'equació general d'un pla és $ax + by + cz + d = 0$, i el més important d'aquesta forma és que $(a, b, c)$ és el vector normal, és a dir, el vector perpendicular al pla.

Com que el normal és $(-2, 1, 3)$, ja tenim tres coeficients:

$- 2x + y + 3z + d = 0$

Ens falta la $d$, i la trobem obligant el pla a passar pel punt $P(0, -2, 1)$. Substituïm $x = 0$, $y = -2$, $z = 1$:

$(-2)(0) + (1)(-2) + (3)(1) + d = 0$

$0 - 2 + 3 + d = 1 + d = 0 \quad\Longrightarrow\quad d = -1$

Comprovar si un punt és en un pla és sempre el mateix: substituir i mirar si dona zero.

$(-2)(-1) + (1)(-1) + (-1)(1) + (-2)$

$= 2 - 1 - 1 - 2 = -2$

Dona $-2$, que no és zero: el punt $P$ no pertany al pla.

El vector director d'una recta que passa per dos punts és el vector que va d'un a l'altre, i es calcula restant les coordenades: el d'arribada menys el de sortida.

$\overrightarrow{AB} = B - A = (1 - 0,\ 1 - (-1),\ -1 - 3)$

$= (1, 2, -4)$

La segona component és $2$.

L'ordre importa per al signe: $\overrightarrow{BA}$ seria el mateix vector però amb tots els signes canviats. Per a la recta serveixen igual tots dos, perquè només marquen la direcció.

L'equació general d'un pla és $ax + by + cz + d = 0$, i el més important d'aquesta forma és que $(a, b, c)$ és el vector normal, és a dir, el vector perpendicular al pla.

Com que el normal és $(-2, 3, 4)$, ja tenim tres coeficients:

$- 2x + 3y + 4z + d = 0$

Ens falta la $d$, i la trobem obligant el pla a passar pel punt $P(2, 0, 0)$. Substituïm $x = 2$, $y = 0$, $z = 0$:

$(-2)(2) + (3)(0) + (4)(0) + d = 0$

$-4 + 0 + 0 + d = -4 + d = 0 \quad\Longrightarrow\quad d = 4$

Comprovar si un punt és en un pla és sempre el mateix: substituir i mirar si dona zero.

$(-3)(0) + (-2)(-1) + (-1)(2) + (3)$

$= 0 + 2 - 2 + 3 = 3$

Dona $3$, que no és zero: el punt $P$ no pertany al pla.

El vector director d'una recta que passa per dos punts és el vector que va d'un a l'altre, i es calcula restant les coordenades: el d'arribada menys el de sortida.

$\overrightarrow{AB} = B - A = (2 - 1,\ 0 - 0,\ 1 - (-1))$

$= (1, 0, 2)$

La tercera component és $2$.

L'ordre importa per al signe: $\overrightarrow{BA}$ seria el mateix vector però amb tots els signes canviats. Per a la recta serveixen igual tots dos, perquè només marquen la direcció.

L'equació general d'un pla és $ax + by + cz + d = 0$, i el més important d'aquesta forma és que $(a, b, c)$ és el vector normal, és a dir, el vector perpendicular al pla.

Com que el normal és $(2, -3, 3)$, ja tenim tres coeficients:

$2x - 3y + 3z + d = 0$

Ens falta la $d$, i la trobem obligant el pla a passar pel punt $P(3, -1, -2)$. Substituïm $x = 3$, $y = -1$, $z = -2$:

$(2)(3) + (-3)(-1) + (3)(-2) + d = 0$

$6 + 3 - 6 + d = 3 + d = 0 \quad\Longrightarrow\quad d = -3$

Comprovar si un punt és en un pla és sempre el mateix: substituir i mirar si dona zero.

$(2)(2) + (4)(-1) + (-2)(3) + (3)$

$= 4 - 4 - 6 + 3 = -3$

Dona $-3$, que no és zero: el punt $P$ no pertany al pla.