Exercicis de rectes i plans

L'equació general d'un pla és $ax + by + cz + d = 0$, i el més important d'aquesta forma és que $(a, b, c)$ és el vector normal, és a dir, el vector perpendicular al pla.

Com que el normal és $(2, -3, 1)$, ja tenim tres coeficients:

$2x - 3y + z + d = 0$

Ens falta la $d$, i la trobem obligant el pla a passar pel punt $P(-1, 0, 1)$. Substituïm $x = -1$, $y = 0$, $z = 1$:

$(2)(-1) + (-3)(0) + (1)(1) + d = 0$

$-2 + 0 + 1 + d = -1 + d = 0 \quad\Longrightarrow\quad d = 1$

Comprovar si un punt és en un pla és sempre el mateix: substituir i mirar si dona zero.

$(3)(-2) + (1)(3) + (2)(-2) + (3)$

$= -6 + 3 - 4 + 3 = -4$

Dona $-4$, que no és zero: el punt $P$ no pertany al pla.

El vector director d'una recta que passa per dos punts és el vector que va d'un a l'altre, i es calcula restant les coordenades: el d'arribada menys el de sortida.

$\overrightarrow{AB} = B - A = (0 - 2,\ 2 - 3,\ -1 - (-1))$

$= (-2, -1, 0)$

La primera component és $-2$.

L'ordre importa per al signe: $\overrightarrow{BA}$ seria el mateix vector però amb tots els signes canviats. Per a la recta serveixen igual tots dos, perquè només marquen la direcció.

L'equació general d'un pla és $ax + by + cz + d = 0$, i el més important d'aquesta forma és que $(a, b, c)$ és el vector normal, és a dir, el vector perpendicular al pla.

Com que el normal és $(2, -1, -1)$, ja tenim tres coeficients:

$2x - y - z + d = 0$

Ens falta la $d$, i la trobem obligant el pla a passar pel punt $P(1, -1, -1)$. Substituïm $x = 1$, $y = -1$, $z = -1$:

$(2)(1) + (-1)(-1) + (-1)(-1) + d = 0$

$2 + 1 + 1 + d = 4 + d = 0 \quad\Longrightarrow\quad d = -4$

Comprovar si un punt és en un pla és sempre el mateix: substituir i mirar si dona zero.

$(4)(2) + (-3)(0) + (1)(-2) + (-4)$

$= 8 + 0 - 2 - 4 = 2$

Dona $2$, que no és zero: el punt $P$ no pertany al pla.

El vector director d'una recta que passa per dos punts és el vector que va d'un a l'altre, i es calcula restant les coordenades: el d'arribada menys el de sortida.

$\overrightarrow{AB} = B - A = (0 - (-1),\ 0 - 1,\ 1 - (-2))$

$= (1, -1, 3)$

La primera component és $1$.

L'ordre importa per al signe: $\overrightarrow{BA}$ seria el mateix vector però amb tots els signes canviats. Per a la recta serveixen igual tots dos, perquè només marquen la direcció.

L'equació general d'un pla és $ax + by + cz + d = 0$, i el més important d'aquesta forma és que $(a, b, c)$ és el vector normal, és a dir, el vector perpendicular al pla.

Com que el normal és $(1, -1, 3)$, ja tenim tres coeficients:

$x - y + 3z + d = 0$

Ens falta la $d$, i la trobem obligant el pla a passar pel punt $P(-1, -2, 1)$. Substituïm $x = -1$, $y = -2$, $z = 1$:

$(1)(-1) + (-1)(-2) + (3)(1) + d = 0$

$-1 + 2 + 3 + d = 4 + d = 0 \quad\Longrightarrow\quad d = -4$

Comprovar si un punt és en un pla és sempre el mateix: substituir i mirar si dona zero.

$(-1)(0) + (4)(2) + (-1)(2) + (5)$

$= 0 + 8 - 2 + 5 = 11$

Dona $11$, que no és zero: el punt $P$ no pertany al pla.

El vector director d'una recta que passa per dos punts és el vector que va d'un a l'altre, i es calcula restant les coordenades: el d'arribada menys el de sortida.

$\overrightarrow{AB} = B - A = (-1 - 2,\ 3 - (-1),\ 2 - 1)$

$= (-3, 4, 1)$

La segona component és $4$.

L'ordre importa per al signe: $\overrightarrow{BA}$ seria el mateix vector però amb tots els signes canviats. Per a la recta serveixen igual tots dos, perquè només marquen la direcció.

L'equació general d'un pla és $ax + by + cz + d = 0$, i el més important d'aquesta forma és que $(a, b, c)$ és el vector normal, és a dir, el vector perpendicular al pla.

Com que el normal és $(4, 1, -3)$, ja tenim tres coeficients:

$4x + y - 3z + d = 0$

Ens falta la $d$, i la trobem obligant el pla a passar pel punt $P(1, -1, -2)$. Substituïm $x = 1$, $y = -1$, $z = -2$:

$(4)(1) + (1)(-1) + (-3)(-2) + d = 0$

$4 - 1 + 6 + d = 9 + d = 0 \quad\Longrightarrow\quad d = -9$