Exercicis de rectes i plans

El vector director d'una recta que passa per dos punts és el vector que va d'un a l'altre, i es calcula restant les coordenades: el d'arribada menys el de sortida.

$\overrightarrow{AB} = B - A = (2 - 2,\ 1 - (-1),\ 3 - 0)$

$= (0, 2, 3)$

La tercera component és $3$.

L'ordre importa per al signe: $\overrightarrow{BA}$ seria el mateix vector però amb tots els signes canviats. Per a la recta serveixen igual tots dos, perquè només marquen la direcció.

L'equació general d'un pla és $ax + by + cz + d = 0$, i el més important d'aquesta forma és que $(a, b, c)$ és el vector normal, és a dir, el vector perpendicular al pla.

Com que el normal és $(-1, -2, 2)$, ja tenim tres coeficients:

$- x - 2y + 2z + d = 0$

Ens falta la $d$, i la trobem obligant el pla a passar pel punt $P(-1, 0, -2)$. Substituïm $x = -1$, $y = 0$, $z = -2$:

$(-1)(-1) + (-2)(0) + (2)(-2) + d = 0$

$1 + 0 - 4 + d = -3 + d = 0 \quad\Longrightarrow\quad d = 3$

Comprovar si un punt és en un pla és sempre el mateix: substituir i mirar si dona zero.

$(1)(0) + (-3)(-2) + (-3)(3) + (1)$

$= 0 + 6 - 9 + 1 = -2$

Dona $-2$, que no és zero: el punt $P$ no pertany al pla.

El vector director d'una recta que passa per dos punts és el vector que va d'un a l'altre, i es calcula restant les coordenades: el d'arribada menys el de sortida.

$\overrightarrow{AB} = B - A = (3 - (-2),\ -2 - 3,\ -1 - 1)$

$= (5, -5, -2)$

La primera component és $5$.

L'ordre importa per al signe: $\overrightarrow{BA}$ seria el mateix vector però amb tots els signes canviats. Per a la recta serveixen igual tots dos, perquè només marquen la direcció.

L'equació general d'un pla és $ax + by + cz + d = 0$, i el més important d'aquesta forma és que $(a, b, c)$ és el vector normal, és a dir, el vector perpendicular al pla.

Com que el normal és $(-3, 1, -2)$, ja tenim tres coeficients:

$- 3x + y - 2z + d = 0$

Ens falta la $d$, i la trobem obligant el pla a passar pel punt $P(1, -2, 1)$. Substituïm $x = 1$, $y = -2$, $z = 1$:

$(-3)(1) + (1)(-2) + (-2)(1) + d = 0$

$-3 - 2 - 2 + d = -7 + d = 0 \quad\Longrightarrow\quad d = 7$

Comprovar si un punt és en un pla és sempre el mateix: substituir i mirar si dona zero.

$(-1)(2) + (-3)(-2) + (2)(2) + (3)$

$= -2 + 6 + 4 + 3 = 11$

Dona $11$, que no és zero: el punt $P$ no pertany al pla.

El vector director d'una recta que passa per dos punts és el vector que va d'un a l'altre, i es calcula restant les coordenades: el d'arribada menys el de sortida.

$\overrightarrow{AB} = B - A = (1 - 0,\ 0 - (-2),\ 0 - (-2))$

$= (1, 2, 2)$

La primera component és $1$.

L'ordre importa per al signe: $\overrightarrow{BA}$ seria el mateix vector però amb tots els signes canviats. Per a la recta serveixen igual tots dos, perquè només marquen la direcció.

L'equació general d'un pla és $ax + by + cz + d = 0$, i el més important d'aquesta forma és que $(a, b, c)$ és el vector normal, és a dir, el vector perpendicular al pla.

Com que el normal és $(4, 4, 1)$, ja tenim tres coeficients:

$4x + 4y + z + d = 0$

Ens falta la $d$, i la trobem obligant el pla a passar pel punt $P(2, 2, 3)$. Substituïm $x = 2$, $y = 2$, $z = 3$:

$(4)(2) + (4)(2) + (1)(3) + d = 0$

$8 + 8 + 3 + d = 19 + d = 0 \quad\Longrightarrow\quad d = -19$

Comprovar si un punt és en un pla és sempre el mateix: substituir i mirar si dona zero.

$(1)(-1) + (3)(-2) + (-1)(-1) + (-2)$

$= -1 - 6 + 1 - 2 = -8$

Dona $-8$, que no és zero: el punt $P$ no pertany al pla.

El vector director d'una recta que passa per dos punts és el vector que va d'un a l'altre, i es calcula restant les coordenades: el d'arribada menys el de sortida.

$\overrightarrow{AB} = B - A = (0 - 1,\ 1 - (-2),\ 2 - 3)$

$= (-1, 3, -1)$

La primera component és $-1$.

L'ordre importa per al signe: $\overrightarrow{BA}$ seria el mateix vector però amb tots els signes canviats. Per a la recta serveixen igual tots dos, perquè només marquen la direcció.