Exercicis de rectes i plans

El vector director d'una recta que passa per dos punts és el vector que va d'un a l'altre, i es calcula restant les coordenades: el d'arribada menys el de sortida.

$\overrightarrow{AB} = B - A = (1 - 3,\ 2 - (-2),\ 0 - 0)$

$= (-2, 4, 0)$

La tercera component és $0$.

L'ordre importa per al signe: $\overrightarrow{BA}$ seria el mateix vector però amb tots els signes canviats. Per a la recta serveixen igual tots dos, perquè només marquen la direcció.

L'equació general d'un pla és $ax + by + cz + d = 0$, i el més important d'aquesta forma és que $(a, b, c)$ és el vector normal, és a dir, el vector perpendicular al pla.

Com que el normal és $(2, -2, 1)$, ja tenim tres coeficients:

$2x - 2y + z + d = 0$

Ens falta la $d$, i la trobem obligant el pla a passar pel punt $P(-2, 3, 3)$. Substituïm $x = -2$, $y = 3$, $z = 3$:

$(2)(-2) + (-2)(3) + (1)(3) + d = 0$

$-4 - 6 + 3 + d = -7 + d = 0 \quad\Longrightarrow\quad d = 7$

Comprovar si un punt és en un pla és sempre el mateix: substituir i mirar si dona zero.

$(2)(0) + (-1)(-1) + (-2)(-2) + (3)$

$= 0 + 1 + 4 + 3 = 8$

Dona $8$, que no és zero: el punt $P$ no pertany al pla.

El vector director d'una recta que passa per dos punts és el vector que va d'un a l'altre, i es calcula restant les coordenades: el d'arribada menys el de sortida.

$\overrightarrow{AB} = B - A = (0 - 0,\ -1 - 3,\ -1 - 1)$

$= (0, -4, -2)$

La primera component és $0$.

L'ordre importa per al signe: $\overrightarrow{BA}$ seria el mateix vector però amb tots els signes canviats. Per a la recta serveixen igual tots dos, perquè només marquen la direcció.

L'equació general d'un pla és $ax + by + cz + d = 0$, i el més important d'aquesta forma és que $(a, b, c)$ és el vector normal, és a dir, el vector perpendicular al pla.

Com que el normal és $(-2, 2, 4)$, ja tenim tres coeficients:

$- 2x + 2y + 4z + d = 0$

Ens falta la $d$, i la trobem obligant el pla a passar pel punt $P(3, 0, -2)$. Substituïm $x = 3$, $y = 0$, $z = -2$:

$(-2)(3) + (2)(0) + (4)(-2) + d = 0$

$-6 + 0 - 8 + d = -14 + d = 0 \quad\Longrightarrow\quad d = 14$

Comprovar si un punt és en un pla és sempre el mateix: substituir i mirar si dona zero.

$(-3)(-2) + (-2)(-2) + (2)(-1) + (-4)$

$= 6 + 4 - 2 - 4 = 4$

Dona $4$, que no és zero: el punt $P$ no pertany al pla.

El vector director d'una recta que passa per dos punts és el vector que va d'un a l'altre, i es calcula restant les coordenades: el d'arribada menys el de sortida.

$\overrightarrow{AB} = B - A = (-1 - 0,\ -1 - (-1),\ 0 - 0)$

$= (-1, 0, 0)$

La segona component és $0$.

L'ordre importa per al signe: $\overrightarrow{BA}$ seria el mateix vector però amb tots els signes canviats. Per a la recta serveixen igual tots dos, perquè només marquen la direcció.

L'equació general d'un pla és $ax + by + cz + d = 0$, i el més important d'aquesta forma és que $(a, b, c)$ és el vector normal, és a dir, el vector perpendicular al pla.

Com que el normal és $(1, 2, 1)$, ja tenim tres coeficients:

$x + 2y + z + d = 0$

Ens falta la $d$, i la trobem obligant el pla a passar pel punt $P(-1, 2, -2)$. Substituïm $x = -1$, $y = 2$, $z = -2$:

$(1)(-1) + (2)(2) + (1)(-2) + d = 0$

$-1 + 4 - 2 + d = 1 + d = 0 \quad\Longrightarrow\quad d = -1$

Comprovar si un punt és en un pla és sempre el mateix: substituir i mirar si dona zero.

$(4)(2) + (-3)(2) + (3)(-1) + (-2)$

$= 8 - 6 - 3 - 2 = -3$

Dona $-3$, que no és zero: el punt $P$ no pertany al pla.

El vector director d'una recta que passa per dos punts és el vector que va d'un a l'altre, i es calcula restant les coordenades: el d'arribada menys el de sortida.

$\overrightarrow{AB} = B - A = (0 - 3,\ -2 - 3,\ -1 - 1)$

$= (-3, -5, -2)$

La segona component és $-5$.

L'ordre importa per al signe: $\overrightarrow{BA}$ seria el mateix vector però amb tots els signes canviats. Per a la recta serveixen igual tots dos, perquè només marquen la direcció.