Exercicis de rectes i plans

El vector director d'una recta que passa per dos punts és el vector que va d'un a l'altre, i es calcula restant les coordenades: el d'arribada menys el de sortida.

$\overrightarrow{AB} = B - A = (-2 - (-1),\ 0 - 3,\ -1 - 0)$

$= (-1, -3, -1)$

La segona component és $-3$.

L'ordre importa per al signe: $\overrightarrow{BA}$ seria el mateix vector però amb tots els signes canviats. Per a la recta serveixen igual tots dos, perquè només marquen la direcció.

L'equació general d'un pla és $ax + by + cz + d = 0$, i el més important d'aquesta forma és que $(a, b, c)$ és el vector normal, és a dir, el vector perpendicular al pla.

Com que el normal és $(-2, -1, 4)$, ja tenim tres coeficients:

$- 2x - y + 4z + d = 0$

Ens falta la $d$, i la trobem obligant el pla a passar pel punt $P(3, 3, 3)$. Substituïm $x = 3$, $y = 3$, $z = 3$:

$(-2)(3) + (-1)(3) + (4)(3) + d = 0$

$-6 - 3 + 12 + d = 3 + d = 0 \quad\Longrightarrow\quad d = -3$

Comprovar si un punt és en un pla és sempre el mateix: substituir i mirar si dona zero.

$(-1)(1) + (-3)(-1) + (-3)(1) + (1)$

$= -1 + 3 - 3 + 1 = 0$

Dona zero, o sigui que el punt $P$ sí que pertany al pla.

El vector director d'una recta que passa per dos punts és el vector que va d'un a l'altre, i es calcula restant les coordenades: el d'arribada menys el de sortida.

$\overrightarrow{AB} = B - A = (0 - (-2),\ 3 - 1,\ 2 - 0)$

$= (2, 2, 2)$

La primera component és $2$.

L'ordre importa per al signe: $\overrightarrow{BA}$ seria el mateix vector però amb tots els signes canviats. Per a la recta serveixen igual tots dos, perquè només marquen la direcció.

L'equació general d'un pla és $ax + by + cz + d = 0$, i el més important d'aquesta forma és que $(a, b, c)$ és el vector normal, és a dir, el vector perpendicular al pla.

Com que el normal és $(2, -2, -1)$, ja tenim tres coeficients:

$2x - 2y - z + d = 0$

Ens falta la $d$, i la trobem obligant el pla a passar pel punt $P(1, 2, 2)$. Substituïm $x = 1$, $y = 2$, $z = 2$:

$(2)(1) + (-2)(2) + (-1)(2) + d = 0$

$2 - 4 - 2 + d = -4 + d = 0 \quad\Longrightarrow\quad d = 4$

Comprovar si un punt és en un pla és sempre el mateix: substituir i mirar si dona zero.

$(-1)(0) + (3)(0) + (3)(2) + (1)$

$= 0 + 0 + 6 + 1 = 7$

Dona $7$, que no és zero: el punt $P$ no pertany al pla.

El vector director d'una recta que passa per dos punts és el vector que va d'un a l'altre, i es calcula restant les coordenades: el d'arribada menys el de sortida.

$\overrightarrow{AB} = B - A = (2 - 2,\ 2 - 3,\ 0 - 2)$

$= (0, -1, -2)$

La primera component és $0$.

L'ordre importa per al signe: $\overrightarrow{BA}$ seria el mateix vector però amb tots els signes canviats. Per a la recta serveixen igual tots dos, perquè només marquen la direcció.

L'equació general d'un pla és $ax + by + cz + d = 0$, i el més important d'aquesta forma és que $(a, b, c)$ és el vector normal, és a dir, el vector perpendicular al pla.

Com que el normal és $(1, -1, 4)$, ja tenim tres coeficients:

$x - y + 4z + d = 0$

Ens falta la $d$, i la trobem obligant el pla a passar pel punt $P(-2, 1, 1)$. Substituïm $x = -2$, $y = 1$, $z = 1$:

$(1)(-2) + (-1)(1) + (4)(1) + d = 0$

$-2 - 1 + 4 + d = 1 + d = 0 \quad\Longrightarrow\quad d = -1$

Comprovar si un punt és en un pla és sempre el mateix: substituir i mirar si dona zero.

$(4)(3) + (-1)(-1) + (-1)(-1) + (3)$

$= 12 + 1 + 1 + 3 = 17$

Dona $17$, que no és zero: el punt $P$ no pertany al pla.

El vector director d'una recta que passa per dos punts és el vector que va d'un a l'altre, i es calcula restant les coordenades: el d'arribada menys el de sortida.

$\overrightarrow{AB} = B - A = (-1 - 3,\ -1 - 1,\ -2 - 3)$

$= (-4, -2, -5)$

La segona component és $-2$.

L'ordre importa per al signe: $\overrightarrow{BA}$ seria el mateix vector però amb tots els signes canviats. Per a la recta serveixen igual tots dos, perquè només marquen la direcció.