Simulacre d'examen de rectes i plans

L'equació general d'un pla és $ax + by + cz + d = 0$, i el més important d'aquesta forma és que $(a, b, c)$ és el vector normal, és a dir, el vector perpendicular al pla.

Com que el normal és $(-3, 1, 4)$, ja tenim tres coeficients:

$- 3x + y + 4z + d = 0$

Ens falta la $d$, i la trobem obligant el pla a passar pel punt $P(-1, 2, 0)$. Substituïm $x = -1$, $y = 2$, $z = 0$:

$(-3)(-1) + (1)(2) + (4)(0) + d = 0$

$3 + 2 + 0 + d = 5 + d = 0 \quad\Longrightarrow\quad d = -5$

El vector director d'una recta que passa per dos punts és el vector que va d'un a l'altre, i es calcula restant les coordenades: el d'arribada menys el de sortida.

$\overrightarrow{AB} = B - A = (-2 - 0,\ -2 - 2,\ 1 - 3)$

$= (-2, -4, -2)$

La segona component és $-4$.

L'ordre importa per al signe: $\overrightarrow{BA}$ seria el mateix vector però amb tots els signes canviats. Per a la recta serveixen igual tots dos, perquè només marquen la direcció.

El vector director d'una recta que passa per dos punts és el vector que va d'un a l'altre, i es calcula restant les coordenades: el d'arribada menys el de sortida.

$\overrightarrow{AB} = B - A = (1 - 2,\ 1 - 0,\ 3 - 2)$

$= (-1, 1, 1)$

La segona component és $1$.

L'ordre importa per al signe: $\overrightarrow{BA}$ seria el mateix vector però amb tots els signes canviats. Per a la recta serveixen igual tots dos, perquè només marquen la direcció.

Comprovar si un punt és en un pla és sempre el mateix: substituir i mirar si dona zero.

$(-3)(-2) + (-2)(-2) + (2)(-1) + (-4)$

$= 6 + 4 - 2 - 4 = 4$

Dona $4$, que no és zero: el punt $P$ no pertany al pla.

Comprovar si un punt és en un pla és sempre el mateix: substituir i mirar si dona zero.

$(2)(-2) + (2)(0) + (1)(0) + (5)$

$= -4 + 0 + 0 + 5 = 1$

Dona $1$, que no és zero: el punt $P$ no pertany al pla.

L'equació general d'un pla és $ax + by + cz + d = 0$, i el més important d'aquesta forma és que $(a, b, c)$ és el vector normal, és a dir, el vector perpendicular al pla.

Com que el normal és $(-2, 1, 3)$, ja tenim tres coeficients:

$- 2x + y + 3z + d = 0$

Ens falta la $d$, i la trobem obligant el pla a passar pel punt $P(0, -2, 1)$. Substituïm $x = 0$, $y = -2$, $z = 1$:

$(-2)(0) + (1)(-2) + (3)(1) + d = 0$

$0 - 2 + 3 + d = 1 + d = 0 \quad\Longrightarrow\quad d = -1$

L'equació general d'un pla és $ax + by + cz + d = 0$, i el més important d'aquesta forma és que $(a, b, c)$ és el vector normal, és a dir, el vector perpendicular al pla.

Com que el normal és $(-1, -2, 2)$, ja tenim tres coeficients:

$- x - 2y + 2z + d = 0$

Ens falta la $d$, i la trobem obligant el pla a passar pel punt $P(-1, 0, -2)$. Substituïm $x = -1$, $y = 0$, $z = -2$:

$(-1)(-1) + (-2)(0) + (2)(-2) + d = 0$

$1 + 0 - 4 + d = -3 + d = 0 \quad\Longrightarrow\quad d = 3$

El vector director d'una recta que passa per dos punts és el vector que va d'un a l'altre, i es calcula restant les coordenades: el d'arribada menys el de sortida.

$\overrightarrow{AB} = B - A = (0 - 1,\ 1 - (-2),\ 2 - 3)$

$= (-1, 3, -1)$

La primera component és $-1$.

L'ordre importa per al signe: $\overrightarrow{BA}$ seria el mateix vector però amb tots els signes canviats. Per a la recta serveixen igual tots dos, perquè només marquen la direcció.

El vector director d'una recta que passa per dos punts és el vector que va d'un a l'altre, i es calcula restant les coordenades: el d'arribada menys el de sortida.

$\overrightarrow{AB} = B - A = (-1 - 2,\ 3 - (-1),\ 2 - 1)$

$= (-3, 4, 1)$

La segona component és $4$.

L'ordre importa per al signe: $\overrightarrow{BA}$ seria el mateix vector però amb tots els signes canviats. Per a la recta serveixen igual tots dos, perquè només marquen la direcció.

Comprovar si un punt és en un pla és sempre el mateix: substituir i mirar si dona zero.

$(-3)(-2) + (3)(-1) + (-3)(-2) + (3)$

$= 6 - 3 + 6 + 3 = 12$

Dona $12$, que no és zero: el punt $P$ no pertany al pla.

Comprovar si un punt és en un pla és sempre el mateix: substituir i mirar si dona zero.

$(-1)(0) + (3)(0) + (3)(2) + (1)$

$= 0 + 0 + 6 + 1 = 7$

Dona $7$, que no és zero: el punt $P$ no pertany al pla.

L'equació general d'un pla és $ax + by + cz + d = 0$, i el més important d'aquesta forma és que $(a, b, c)$ és el vector normal, és a dir, el vector perpendicular al pla.

Com que el normal és $(3, 3, -2)$, ja tenim tres coeficients:

$3x + 3y - 2z + d = 0$

Ens falta la $d$, i la trobem obligant el pla a passar pel punt $P(2, -2, 0)$. Substituïm $x = 2$, $y = -2$, $z = 0$:

$(3)(2) + (3)(-2) + (-2)(0) + d = 0$

$6 - 6 + 0 + d = 0 + d = 0 \quad\Longrightarrow\quad d = 0$