Exercicis de rectes i plans

L'equació general d'un pla és $ax + by + cz + d = 0$, i el més important d'aquesta forma és que $(a, b, c)$ és el vector normal, és a dir, el vector perpendicular al pla.

Com que el normal és $(1, 4, 3)$, ja tenim tres coeficients:

$x + 4y + 3z + d = 0$

Ens falta la $d$, i la trobem obligant el pla a passar pel punt $P(2, 1, 0)$. Substituïm $x = 2$, $y = 1$, $z = 0$:

$(1)(2) + (4)(1) + (3)(0) + d = 0$

$2 + 4 + 0 + d = 6 + d = 0 \quad\Longrightarrow\quad d = -6$

Comprovar si un punt és en un pla és sempre el mateix: substituir i mirar si dona zero.

$(4)(-2) + (-1)(3) + (4)(2) + (-2)$

$= -8 - 3 + 8 - 2 = -5$

Dona $-5$, que no és zero: el punt $P$ no pertany al pla.

El vector director d'una recta que passa per dos punts és el vector que va d'un a l'altre, i es calcula restant les coordenades: el d'arribada menys el de sortida.

$\overrightarrow{AB} = B - A = (3 - (-1),\ 0 - (-1),\ 3 - 2)$

$= (4, 1, 1)$

La segona component és $1$.

L'ordre importa per al signe: $\overrightarrow{BA}$ seria el mateix vector però amb tots els signes canviats. Per a la recta serveixen igual tots dos, perquè només marquen la direcció.

L'equació general d'un pla és $ax + by + cz + d = 0$, i el més important d'aquesta forma és que $(a, b, c)$ és el vector normal, és a dir, el vector perpendicular al pla.

Com que el normal és $(1, -1, 2)$, ja tenim tres coeficients:

$x - y + 2z + d = 0$

Ens falta la $d$, i la trobem obligant el pla a passar pel punt $P(2, -2, 3)$. Substituïm $x = 2$, $y = -2$, $z = 3$:

$(1)(2) + (-1)(-2) + (2)(3) + d = 0$

$2 + 2 + 6 + d = 10 + d = 0 \quad\Longrightarrow\quad d = -10$

Comprovar si un punt és en un pla és sempre el mateix: substituir i mirar si dona zero.

$(2)(-2) + (2)(0) + (1)(0) + (5)$

$= -4 + 0 + 0 + 5 = 1$

Dona $1$, que no és zero: el punt $P$ no pertany al pla.

El vector director d'una recta que passa per dos punts és el vector que va d'un a l'altre, i es calcula restant les coordenades: el d'arribada menys el de sortida.

$\overrightarrow{AB} = B - A = (1 - 2,\ 0 - 2,\ 1 - 1)$

$= (-1, -2, 0)$

La primera component és $-1$.

L'ordre importa per al signe: $\overrightarrow{BA}$ seria el mateix vector però amb tots els signes canviats. Per a la recta serveixen igual tots dos, perquè només marquen la direcció.

L'equació general d'un pla és $ax + by + cz + d = 0$, i el més important d'aquesta forma és que $(a, b, c)$ és el vector normal, és a dir, el vector perpendicular al pla.

Com que el normal és $(-1, 2, 1)$, ja tenim tres coeficients:

$- x + 2y + z + d = 0$

Ens falta la $d$, i la trobem obligant el pla a passar pel punt $P(-1, 0, 2)$. Substituïm $x = -1$, $y = 0$, $z = 2$:

$(-1)(-1) + (2)(0) + (1)(2) + d = 0$

$1 + 0 + 2 + d = 3 + d = 0 \quad\Longrightarrow\quad d = -3$

Comprovar si un punt és en un pla és sempre el mateix: substituir i mirar si dona zero.

$(2)(2) + (1)(-2) + (4)(-1) + (3)$

$= 4 - 2 - 4 + 3 = 1$

Dona $1$, que no és zero: el punt $P$ no pertany al pla.

El vector director d'una recta que passa per dos punts és el vector que va d'un a l'altre, i es calcula restant les coordenades: el d'arribada menys el de sortida.

$\overrightarrow{AB} = B - A = (2 - (-2),\ -1 - 0,\ 2 - 1)$

$= (4, -1, 1)$

La tercera component és $1$.

L'ordre importa per al signe: $\overrightarrow{BA}$ seria el mateix vector però amb tots els signes canviats. Per a la recta serveixen igual tots dos, perquè només marquen la direcció.

L'equació general d'un pla és $ax + by + cz + d = 0$, i el més important d'aquesta forma és que $(a, b, c)$ és el vector normal, és a dir, el vector perpendicular al pla.

Com que el normal és $(2, -2, 3)$, ja tenim tres coeficients:

$2x - 2y + 3z + d = 0$

Ens falta la $d$, i la trobem obligant el pla a passar pel punt $P(-2, -2, 3)$. Substituïm $x = -2$, $y = -2$, $z = 3$:

$(2)(-2) + (-2)(-2) + (3)(3) + d = 0$

$-4 + 4 + 9 + d = 9 + d = 0 \quad\Longrightarrow\quad d = -9$