Càlcul vectorial: integrals de línia i de superfície, Green, Stokes i Gauss

El càlcul vectorial és on el càlcul de diverses variables es converteix en física. Treball, flux, circulació i caudal deixen de ser paraules i passen a ser integrals concretes, i els tres grans teoremes (Green, Stokes i Gauss) diuen tots la mateixa cosa amb vestits diferents: el que passa a la frontera queda determinat pel que passa a dins.

Camps i operadors

Un camp escalar assigna un número a cada punt; un camp vectorial, un vector. Els tres operadors bàsics, en coordenades cartesianes, són

$$\nabla f = (f_x, f_y, f_z), \qquad \operatorname{div}F = P_x + Q_y + R_z,$$ $$\operatorname{rot}F = (R_y - Q_z,\ P_z - R_x,\ Q_x - P_y).$$

El gradient apunta en la direcció de màxim creixement i dona la derivada direccional com a producte escalar amb el vector unitari. La divergència mesura la densitat local de flux sortint: on és positiva, hi ha una font. El rotacional mesura la circulació local, és a dir com de retorçat està el camp.

Dues identitats que surten de la igualtat de derivades creuades per a camps de classe $C^{2}$, i que es fan servir contínuament: el rotacional d'un gradient és zero i la divergència d'un rotacional és zero.

Integrals de línia: dues, i no es confonen

Sobre una corba parametritzada hi ha dues integrals diferents:

$$\int_C f\,ds = \int_a^b f(r(t))\,\lVert r'(t)\rVert\,dt, \qquad \int_C F\cdot dr = \int_a^b F(r(t))\cdot r'(t)\,dt.$$

La primera és escalar (longitud, massa d'un filferro) i no canvia si inverteixes l'orientació, perquè la norma és sempre positiva. La segona és treball o circulació i canvia de signe en invertir l'orientació. Confondre el diferencial d'arc amb el diferencial vectorial és l'error més freqüent del tema.

Camps conservatius

En un obert connex per camins, són equivalents: que la integral sigui independent del camí, que existeixi potencial, i que la circulació sobre tota corba tancada sigui nul·la. La condició pràctica de rotacional nul és suficient només si el domini és simplement connex, és a dir sense forats.

Per trobar un potencial, integres una component respecte de la seva variable i hi afegeixes una funció desconeguda de les altres; després derives i imposes les components que queden. Per a $F = (2xy,\ x^{2}+2y)$: integrant la primera respecte de $x$ surt $\phi = x^{2}y + h(y)$, i imposant la segona queda $h'(y) = 2y$, és a dir $h = y^{2} + C$.

Superfícies, àrea i flux

Amb una parametrització regular d'una superfície,

$$\iint_S f\,dS = \iint_D f\,\lVert r_u\times r_v\rVert\,du\,dv, \qquad \iint_S F\cdot n\,dS = \iint_D F\cdot (r_u\times r_v)\,du\,dv.$$

Si la superfície és el gràfic d'una funció amb orientació cap amunt, l'element vectorial és $(-g_x, -g_y, 1)\,dx\,dy$, que és una de les fórmules que més s'utilitzen.

Els tres teoremes

Green relaciona una circulació plana amb una integral doble:

$$\oint_{\partial D} P\,dx + Q\,dy = \iint_D (Q_x - P_y)\,dx\,dy,$$

amb l'orientació positiva, que deixa la regió a l'esquerra: frontera exterior en sentit antihorari i forats en sentit horari. Es dedueix primer en rectangles aplicant el teorema fonamental a cada variable, i després es descompon el domini; les vores interiors es cancel·len entre elles, i per això l'orientació és essencial.

Stokes és la versió en l'espai: la circulació sobre la frontera d'una superfície orientable és el flux del rotacional a través d'ella, amb l'orientació induïda per la regla de la mà dreta. Una conseqüència pràctica molt útil: pots canviar la superfície per una altra amb la mateixa frontera orientada, si el camp és regular a la regió que hi ha entremig.

Gauss o de la divergència: el flux exterior a través d'una superfície tancada és la integral triple de la divergència. La condició de tancada no és negociable; si a la teva superfície li falta una tapa, l'has d'afegir, aplicar el teorema, i després restar el flux de la tapa.

Exercici resolt: flux pel cub

Calcula el flux exterior de $F = (x^{2}, y^{2}, z^{2})$ pel cub unitat.

La superfície és tancada, o sigui que Gauss s'hi aplica directament. La divergència val

$$\operatorname{div}F = 2x + 2y + 2z.$$

Integrant sobre el cub, cada variable aporta el mateix per simetria:

$$\iiint 2x\,dV = 2\cdot\frac12 = 1,$$

i igual per a les altres dues. El flux total és $3$.

Compara-ho amb el càlcul directe: caldria parametritzar sis cares, vigilar sis orientacions i fer sis integrals dobles. Gauss ho redueix a una integral triple d'un polinomi. Quan la superfície és tancada, gairebé sempre val la pena.

Exercici resolt: treball d'un camp conservatiu

Calcula el treball de $F = (2xy,\ x^{2})$ per anar de l'origen al punt $(1,2)$.

Primer, és conservatiu? $Q_x = 2x$ i $P_y = 2x$: coincideixen, i el domini és tot el pla, que és simplement connex. Sí que ho és.

Busquem el potencial. Integrant la primera component respecte de $x$: $\phi = x^{2}y + h(y)$. Derivant respecte de $y$ i igualant a la segona component: $x^{2} + h'(y) = x^{2}$, o sigui $h$ constant. Prenem $\phi = x^{2}y$.

El treball és la diferència de potencial entre els extrems:

$$\phi(1,2) - \phi(0,0) = 2 - 0 = 2,$$

i no depèn del camí. Si l'enunciat t'hagués donat una corba complicada, no hauries hagut ni de mirar-la: comprovar que el camp és conservatiu val més que qualsevol parametrització.