Exercicis de sistemes d'EDO i estabilitat

Pas 1 — polinomi característic. Amb traça $-1$ i determinant $-2$:

$\lambda^{2} - (-1)\lambda + (-2) = 0$

Pas 2 — autovalors. $\lambda_1 = 1$ i $\lambda_2 = -2$.

Pas 3 — llegir-los. La regla és sempre la mateixa: la part imaginària diu si hi ha gir (sí, i llavors és focus o centre; no, i llavors és sella o node) i la part real diu si les trajectòries s'acosten a l'origen (negativa) o se n'allunyen (positiva).

Conclusió: Sella (inestable).

Recorda que només hi ha estabilitat asimptòtica si totes les parts reals són estrictament negatives; que n'hi hagi alguna de negativa no és suficient.

Pas 1 — l'equació. Traça $-1$, determinant $-2$:

$\lambda^{2} - (-1)\lambda + (-2) = 0$

Pas 2 — resoldre-la. Els autovalors són $1$, $-2$.

Pas 3 — prendre la part real més gran: $1.0000$.

Aquest número és el que governa el comportament a llarg termini: si és negatiu, totes les trajectòries tendeixen a l'origen; si és positiu, gairebé totes s'allunyen; si és zero, cal mirar els blocs de Jordan.

Pas 1 — igualar a zero.

$x - x^{2} = x\left(1 - x\right) = 0$

Pas 2 — els dos factors. El primer dona $x = 0$ i el segon dona

$x = 1$

Pas 3 — estabilitat (bonus). La derivada del camp és $1 - 2x$. A $x=0$ val $1$ i a l'altre equilibri val $-1$: com que tenen signes oposats, un és atractor i l'altre repulsor. Aquesta és l'estructura del model logístic.

El càlcul.

$\det A = 1 \cdot (-2) - 0 \cdot 0 = -2 - 0 = -2$

Per a què serveix aquí. El polinomi característic d'una matriu $2\times 2$ és

$\lambda^{2} - (\text{traça})\lambda + \det = \lambda^{2} - (-1)\lambda + (-2)$

o sigui que amb la traça ($-1$) i el determinant ($-2$) ja tens tota la informació sense haver de desenvolupar cap determinant simbòlic.

A més, hi ha una lectura directa: si el determinant és negatiu, els autovalors tenen signes oposats i l'origen és una sella, sense necessitat de calcular-los.

Pas 1 — veure que està desacoblat. La primera equació només conté $x$ i la segona només $y$: no cal cap autovalor ni cap matriu, es resolen per separat.

Pas 2 — resoldre la primera.

$x(t) = e^{-2t}$

Pas 3 — avaluar a $t = 1$.

$x(1) = e^{-2} \approx 0.1353$

La segona component no intervé gens en aquest càlcul. Quan la matriu no és diagonal, el que fas és justament buscar un canvi de base que la desacobli: això és diagonalitzar.

Pas 1 — polinomi característic. Amb traça $-4$ i determinant $3$:

$\lambda^{2} - (-4)\lambda + (3) = 0$

Pas 2 — autovalors. $\lambda_1 = -1$ i $\lambda_2 = -3$.

Pas 3 — llegir-los. La regla és sempre la mateixa: la part imaginària diu si hi ha gir (sí, i llavors és focus o centre; no, i llavors és sella o node) i la part real diu si les trajectòries s'acosten a l'origen (negativa) o se n'allunyen (positiva).

Conclusió: Node atractor (asimptòticament estable).

Recorda que només hi ha estabilitat asimptòtica si totes les parts reals són estrictament negatives; que n'hi hagi alguna de negativa no és suficient.

Pas 1 — l'equació. Traça $-4$, determinant $3$:

$\lambda^{2} - (-4)\lambda + (3) = 0$

Pas 2 — resoldre-la. Els autovalors són $-1$, $-3$.

Pas 3 — prendre la part real més gran: $-1.0000$.

Aquest número és el que governa el comportament a llarg termini: si és negatiu, totes les trajectòries tendeixen a l'origen; si és positiu, gairebé totes s'allunyen; si és zero, cal mirar els blocs de Jordan.

Pas 1 — igualar a zero.

$2x - 3x^{2} = x\left(2 - 3x\right) = 0$

Pas 2 — els dos factors. El primer dona $x = 0$ i el segon dona

$x = \frac{2}{3} \approx 0.6667$

Pas 3 — estabilitat (bonus). La derivada del camp és $2 - 6x$. A $x=0$ val $2$ i a l'altre equilibri val $-2$: com que tenen signes oposats, un és atractor i l'altre repulsor. Aquesta és l'estructura del model logístic.

El càlcul.

$\det A = -1 \cdot (-3) - 0 \cdot 0 = 3 - 0 = 3$

Per a què serveix aquí. El polinomi característic d'una matriu $2\times 2$ és

$\lambda^{2} - (\text{traça})\lambda + \det = \lambda^{2} - (-4)\lambda + (3)$

o sigui que amb la traça ($-4$) i el determinant ($3$) ja tens tota la informació sense haver de desenvolupar cap determinant simbòlic.

A més, hi ha una lectura directa: si el determinant és negatiu, els autovalors tenen signes oposats i l'origen és una sella, sense necessitat de calcular-los.

Pas 1 — veure que està desacoblat. La primera equació només conté $x$ i la segona només $y$: no cal cap autovalor ni cap matriu, es resolen per separat.

Pas 2 — resoldre la primera.

$x(t) = 2e^{-2t}$

Pas 3 — avaluar a $t = 1$.

$x(1) = 2e^{-2} \approx 0.2707$

La segona component no intervé gens en aquest càlcul. Quan la matriu no és diagonal, el que fas és justament buscar un canvi de base que la desacobli: això és diagonalitzar.