Exercicis de sistemes d'EDO i estabilitat

Pas 1 — igualar a zero.

$4x - 7x^{2} = x\left(4 - 7x\right) = 0$

Pas 2 — els dos factors. El primer dona $x = 0$ i el segon dona

$x = \frac{4}{7} \approx 0.5714$

Pas 3 — estabilitat (bonus). La derivada del camp és $4 - 14x$. A $x=0$ val $4$ i a l'altre equilibri val $-4$: com que tenen signes oposats, un és atractor i l'altre repulsor. Aquesta és l'estructura del model logístic.

Pas 1 — veure que està desacoblat. La primera equació només conté $x$ i la segona només $y$: no cal cap autovalor ni cap matriu, es resolen per separat.

Pas 2 — resoldre la primera.

$x(t) = 2e^{2t}$

Pas 3 — avaluar a $t = 1$.

$x(1) = 2e^{2} \approx 14.7781$

La segona component no intervé gens en aquest càlcul. Quan la matriu no és diagonal, el que fas és justament buscar un canvi de base que la desacobli: això és diagonalitzar.

Pas 1 — polinomi característic. Amb traça $3$ i determinant $2$:

$\lambda^{2} - (3)\lambda + (2) = 0$

Pas 2 — autovalors. $\lambda_1 = 2$ i $\lambda_2 = 1$.

Pas 3 — llegir-los. La regla és sempre la mateixa: la part imaginària diu si hi ha gir (sí, i llavors és focus o centre; no, i llavors és sella o node) i la part real diu si les trajectòries s'acosten a l'origen (negativa) o se n'allunyen (positiva).

Conclusió: Node repulsor (inestable).

Recorda que només hi ha estabilitat asimptòtica si totes les parts reals són estrictament negatives; que n'hi hagi alguna de negativa no és suficient.

Pas 1 — veure que està desacoblat. La primera equació només conté $x$ i la segona només $y$: no cal cap autovalor ni cap matriu, es resolen per separat.

Pas 2 — resoldre la primera.

$x(t) = e^{2t}$

Pas 3 — avaluar a $t = 1$.

$x(1) = e^{2} \approx 7.3891$

La segona component no intervé gens en aquest càlcul. Quan la matriu no és diagonal, el que fas és justament buscar un canvi de base que la desacobli: això és diagonalitzar.

Pas 1 — polinomi característic. Amb traça $-7$ i determinant $10$:

$\lambda^{2} - (-7)\lambda + (10) = 0$

Pas 2 — autovalors. $\lambda_1 = -2$ i $\lambda_2 = -5$.

Pas 3 — llegir-los. La regla és sempre la mateixa: la part imaginària diu si hi ha gir (sí, i llavors és focus o centre; no, i llavors és sella o node) i la part real diu si les trajectòries s'acosten a l'origen (negativa) o se n'allunyen (positiva).

Conclusió: Node atractor (asimptòticament estable).

Recorda que només hi ha estabilitat asimptòtica si totes les parts reals són estrictament negatives; que n'hi hagi alguna de negativa no és suficient.

Pas 1 — veure que està desacoblat. La primera equació només conté $x$ i la segona només $y$: no cal cap autovalor ni cap matriu, es resolen per separat.

Pas 2 — resoldre la primera.

$x(t) = 2e^{2t}$

Pas 3 — avaluar a $t = 1$.

$x(1) = 2e^{2} \approx 14.7781$

La segona component no intervé gens en aquest càlcul. Quan la matriu no és diagonal, el que fas és justament buscar un canvi de base que la desacobli: això és diagonalitzar.

Pas 1 — polinomi característic. Amb traça $0$ i determinant $9$:

$\lambda^{2} - (0)\lambda + (9) = 0$

Pas 2 — autovalors. $\lambda_1 = - 3 i$ i $\lambda_2 = 3 i$.

Pas 3 — llegir-los. La regla és sempre la mateixa: la part imaginària diu si hi ha gir (sí, i llavors és focus o centre; no, i llavors és sella o node) i la part real diu si les trajectòries s'acosten a l'origen (negativa) o se n'allunyen (positiva).

Conclusió: Centre (estable, no asimptòticament).

Recorda que només hi ha estabilitat asimptòtica si totes les parts reals són estrictament negatives; que n'hi hagi alguna de negativa no és suficient.

Pas 1 — veure que està desacoblat. La primera equació només conté $x$ i la segona només $y$: no cal cap autovalor ni cap matriu, es resolen per separat.

Pas 2 — resoldre la primera.

$x(t) = e^{2t}$

Pas 3 — avaluar a $t = 1$.

$x(1) = e^{2} \approx 7.3891$

La segona component no intervé gens en aquest càlcul. Quan la matriu no és diagonal, el que fas és justament buscar un canvi de base que la desacobli: això és diagonalitzar.

Pas 1 — polinomi característic. Amb traça $4$ i determinant $8$:

$\lambda^{2} - (4)\lambda + (8) = 0$

Pas 2 — autovalors. $\lambda_1 = 2 - 2 i$ i $\lambda_2 = 2 + 2 i$.

Pas 3 — llegir-los. La regla és sempre la mateixa: la part imaginària diu si hi ha gir (sí, i llavors és focus o centre; no, i llavors és sella o node) i la part real diu si les trajectòries s'acosten a l'origen (negativa) o se n'allunyen (positiva).

Conclusió: Focus repulsor (inestable).

Recorda que només hi ha estabilitat asimptòtica si totes les parts reals són estrictament negatives; que n'hi hagi alguna de negativa no és suficient.

Pas 1 — veure que està desacoblat. La primera equació només conté $x$ i la segona només $y$: no cal cap autovalor ni cap matriu, es resolen per separat.

Pas 2 — resoldre la primera.

$x(t) = 2e^{2t}$

Pas 3 — avaluar a $t = 1$.

$x(1) = 2e^{2} \approx 14.7781$

La segona component no intervé gens en aquest càlcul. Quan la matriu no és diagonal, el que fas és justament buscar un canvi de base que la desacobli: això és diagonalitzar.