Sistemes d'EDO i estabilitat: exponencial de matriu, retrat de fase i linealització

Un sistema d'equacions diferencials descriu diverses magnituds que evolucionen alhora i s'influeixen mútuament: dues poblacions, els corrents de dues malles d'un circuit, la posició i la velocitat d'una massa. Escrit en forma vectorial, $x' = A(t)x + b(t)$, tot el que saps d'àlgebra lineal passa a ser eina de treball: els autovalors deixen de ser un càlcul abstracte i es converteixen en la resposta a la pregunta "aquest sistema es calma o es dispara". Aquesta pàgina uneix les dues coses.

Matriu fonamental i variació de constants

Una matriu fonamental $\Phi(t)$ del sistema homogeni és una matriu invertible les columnes de la qual són solucions independents, de manera que compleix $\Phi' = A\Phi$. Amb ella, la solució del sistema complet és

$$x(t) = \Phi(t)\left(c + \int_{t_0}^{t}\Phi(s)^{-1}b(s)\,ds\right),$$

fórmula que es verifica simplement derivant el producte i cancel·lant $\Phi\Phi^{-1}$. És la versió matricial exacta del factor integrant de primer ordre; l'única diferència és que ara l'ordre dels factors importa.

Per a $A$ constant, la matriu fonamental natural és l'exponencial de matriu, definida per la sèrie

$$e^{At} = \sum_{k \geq 0}\frac{A^{k}t^{k}}{k!},$$

que convergeix sempre. Si $A$ és diagonalitzable, $A = PDP^{-1}$ i llavors $e^{At} = P e^{Dt}P^{-1}$, on l'exponencial d'una diagonal és simplement l'exponencial de cada entrada. Aquest és el cas fàcil i és on es veu més clar què fa cada autovalor: cada direcció pròpia evoluciona de manera independent, multiplicada per la seva exponencial.

Quan $A$ no és diagonalitzable apareixen els factors polinòmics. En un bloc de Jordan escrit com $\lambda I + N$, la part nilpotent compleix $N^{m} = 0$ i per tant la sèrie es talla:

$$e^{t(\lambda I + N)} = e^{\lambda t}\sum_{k=0}^{m-1}\frac{t^{k}N^{k}}{k!}.$$

Estabilitat d'un equilibri

Un punt d'equilibri és un punt on el camp s'anul·la, de manera que la solució constant s'hi queda per sempre. La pregunta interessant és què passa si l'empenys una mica. Diem que l'equilibri és estable en el sentit de Lyapunov si tota trajectòria que comenci prou a prop s'hi manté a prop en temps futur, i asimptòticament estable si, a més, les trajectòries d'un entorn hi convergeixen. Són dues coses diferents: un centre és estable però no asimptòticament estable, perquè les òrbites giren sense acostar-s'hi mai.

Per al sistema lineal $x' = Ax$ la resposta és completa i està escrita a l'espectre de la matriu:

• Si totes les parts reals són negatives, l'origen és asimptòticament estable.
• Si alguna part real és positiva, és inestable.
• Si totes són no positives i n'hi ha alguna de nul·la, cal mirar els blocs de Jordan: només hi ha estabilitat si els blocs associats als autovalors de part real zero tenen mida $1$. Altrament apareixen els factors polinòmics del punt anterior i la trajectòria creix.

En dimensió dos, la classificació geomètrica és la que es dibuixa al retrat de fase: dos autovalors reals de signes oposats donen una sella; dos reals del mateix signe donen un node atractor o repulsor; dos complexos amb part real no nul·la donen un focus en espiral; i dos imaginaris purs amb matriu diagonalitzable donen un centre d'òrbites tancades.

Linealització: fins on arriba i on falla

Per a un sistema no lineal $x' = f(x)$ amb $f$ de classe $C^{1}$, a prop d'un equilibri $x_*$ escrivim $x = x_* + z$ i desenvolupem: $z' = Df(x_*)z + o(\lVert z\rVert)$. El teorema de Hartman i Grobman diu, essencialment, que si el jacobià no té cap autovalor de part real zero el comportament local del sistema no lineal és el mateix que el del seu linealitzat. Per tant: totes les parts reals negatives implica estabilitat asimptòtica local; alguna de positiva implica inestabilitat.

El cas frontera és genuïnament indecidible amb el jacobià sol, i val la pena veure per què.

Funcions de Lyapunov

Quan la linealització no decideix, o quan vols conclusions que no siguin només locals, l'eina és una funció de Lyapunov: una funció $V$ positiva fora de l'equilibri, nul·la en ell, i que decreix al llarg de les trajectòries. La derivada al llarg del flux es calcula sense resoldre res, només amb la regla de la cadena: $\dot V = \nabla V \cdot f$. Si $\dot V \leq 0$ en un entorn, sota les condicions habituals tens estabilitat; si $\dot V < 0$ estrictament fora de l'equilibri, tens estabilitat asimptòtica local.

Per a $x' = -x^{3}$, prova $V = x^{2}/2$: llavors $\dot V = x\cdot(-x^{3}) = -x^{4}$, estrictament negativa fora de zero. Això demostra en dues línies el que la linealització no podia decidir. La dificultat del mètode és que no hi ha cap recepta universal per trobar $V$; en sistemes mecànics, l'energia total sol ser la candidata natural.

Exercici resolt: classificar l'origen

Classifica l'origen del sistema $x' = x$, $y' = -2y$.

La matriu és diagonal amb autovalors $1$ i $-2$, de signes oposats: és una sella, i per tant inestable. Explícitament, $x = C_1 e^{t}$ i $y = C_2 e^{-2t}$. Qualsevol dada amb $C_1 \neq 0$ s'allunya exponencialment; només les trajectòries que comencen sobre l'eix vertical, on $C_1 = 0$, convergeixen a l'origen. Aquest eix és la varietat estable, i el fet que existeixi no fa l'equilibri estable: l'estabilitat exigeix que totes les trajectòries properes es quedin properes.

Exercici resolt: focus atractor

Classifica l'origen de $x' = -x - y$, $y' = x - y$.

La matriu té traça $-2$ i determinant $1 + 1 = 2$. El polinomi característic és $\lambda^{2} + 2\lambda + 2 = 0$, amb arrels $-1 \pm i$. Com que hi ha part imaginària, les trajectòries giren; com que la part real és negativa, el radi decreix com $e^{-t}$. És un focus atractor, asimptòticament estable. Com a comprovació independent, amb $V = x^{2} + y^{2}$ surt $\dot V = -2(x^{2} + y^{2}) < 0$ fora de l'origen, que confirma la conclusió sense passar pels autovalors.

Els sistemes són també el llenguatge natural per als models aplicats, on els equilibris i la seva estabilitat tenen significat físic directe.