Exercicis de matrius i equacions matricials

Amb matrius no es pot «dividir»: s'aïlla multiplicant per la inversa, i el costat importa perquè el producte no és commutatiu.

Com que $A$ multiplica $X$ per l'esquerra, multipliquem els dos costats per $A^{-1}$ també per l'esquerra:

$A^{-1}AX = A^{-1}B \quad\Longrightarrow\quad X = A^{-1}B$

El determinant val $2$, diferent de zero, així que $A^{-1}$ existeix:

$A^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ \frac{1}{2} & -1 \end{pmatrix}$

Multiplicant:

$X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \end{pmatrix}$

L'element de la fila $1$ és $0$.

Si l'equació fos $XA = B$, la solució seria $X = BA^{-1}$, amb la inversa a la dreta.

La traça és simplement la suma dels elements de la diagonal principal.

Primer el producte:

$A \cdot B = \begin{pmatrix} -2 & 9 \\ -2 & 15 \end{pmatrix}$

I ara sumem la diagonal:

$\operatorname{tr}(AB) = -2 + 15 = 13$

Una propietat útil: $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$, encara que $AB \neq BA$. I més endavant veuràs que la traça és també la suma dels valors propis.

Amb matrius no es pot «dividir»: s'aïlla multiplicant per la inversa, i el costat importa perquè el producte no és commutatiu.

Com que $A$ multiplica $X$ per l'esquerra, multipliquem els dos costats per $A^{-1}$ també per l'esquerra:

$A^{-1}AX = A^{-1}B \quad\Longrightarrow\quad X = A^{-1}B$

El determinant val $4$, diferent de zero, així que $A^{-1}$ existeix:

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & \frac{3}{4} \\ 0 & \frac{1}{4} \end{pmatrix}$

Multiplicant:

$X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}$

L'element de la fila $2$ és $0$.

Si l'equació fos $XA = B$, la solució seria $X = BA^{-1}$, amb la inversa a la dreta.

La traça és simplement la suma dels elements de la diagonal principal.

Primer el producte:

$A \cdot B = \begin{pmatrix} 13 & 1 \\ 7 & 4 \end{pmatrix}$

I ara sumem la diagonal:

$\operatorname{tr}(AB) = 13 + 4 = 17$

Una propietat útil: $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$, encara que $AB \neq BA$. I més endavant veuràs que la traça és també la suma dels valors propis.

Amb matrius no es pot «dividir»: s'aïlla multiplicant per la inversa, i el costat importa perquè el producte no és commutatiu.

Com que $A$ multiplica $X$ per l'esquerra, multipliquem els dos costats per $A^{-1}$ també per l'esquerra:

$A^{-1}AX = A^{-1}B \quad\Longrightarrow\quad X = A^{-1}B$

El determinant val $4$, diferent de zero, així que $A^{-1}$ existeix:

$A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & 0 \\ \frac{1}{4} & 1 \end{pmatrix}$

Multiplicant:

$X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}$

L'element de la fila $1$ és $-1$.

Si l'equació fos $XA = B$, la solució seria $X = BA^{-1}$, amb la inversa a la dreta.

La traça és simplement la suma dels elements de la diagonal principal.

Primer el producte:

$A \cdot B = \begin{pmatrix} -4 & -4 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$

I ara sumem la diagonal:

$\operatorname{tr}(AB) = -4 + 2 = -2$

Una propietat útil: $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$, encara que $AB \neq BA$. I més endavant veuràs que la traça és també la suma dels valors propis.

Amb matrius no es pot «dividir»: s'aïlla multiplicant per la inversa, i el costat importa perquè el producte no és commutatiu.

Com que $A$ multiplica $X$ per l'esquerra, multipliquem els dos costats per $A^{-1}$ també per l'esquerra:

$A^{-1}AX = A^{-1}B \quad\Longrightarrow\quad X = A^{-1}B$

El determinant val $12$, diferent de zero, així que $A^{-1}$ existeix:

$A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & 0 \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}$

Multiplicant:

$X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}$

L'element de la fila $2$ és $0$.

Si l'equació fos $XA = B$, la solució seria $X = BA^{-1}$, amb la inversa a la dreta.

La traça és simplement la suma dels elements de la diagonal principal.

Primer el producte:

$A \cdot B = \begin{pmatrix} -6 & 0 \\ 4 & 12 \end{pmatrix}$

I ara sumem la diagonal:

$\operatorname{tr}(AB) = -6 + 12 = 6$

Una propietat útil: $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$, encara que $AB \neq BA$. I més endavant veuràs que la traça és també la suma dels valors propis.

Amb matrius no es pot «dividir»: s'aïlla multiplicant per la inversa, i el costat importa perquè el producte no és commutatiu.

Com que $A$ multiplica $X$ per l'esquerra, multipliquem els dos costats per $A^{-1}$ també per l'esquerra:

$A^{-1}AX = A^{-1}B \quad\Longrightarrow\quad X = A^{-1}B$

El determinant val $-12$, diferent de zero, així que $A^{-1}$ existeix:

$A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & - \frac{1}{3} \end{pmatrix}$

Multiplicant:

$X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \end{pmatrix}$

L'element de la fila $2$ és $-3$.

Si l'equació fos $XA = B$, la solució seria $X = BA^{-1}$, amb la inversa a la dreta.

La traça és simplement la suma dels elements de la diagonal principal.

Primer el producte:

$A \cdot B = \begin{pmatrix} 11 & 3 \\ 13 & 1 \end{pmatrix}$

I ara sumem la diagonal:

$\operatorname{tr}(AB) = 11 + 1 = 12$

Una propietat útil: $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$, encara que $AB \neq BA$. I més endavant veuràs que la traça és també la suma dels valors propis.