Exercicis de matrius i equacions matricials

Amb matrius no es pot «dividir»: s'aïlla multiplicant per la inversa, i el costat importa perquè el producte no és commutatiu.

Com que $A$ multiplica $X$ per l'esquerra, multipliquem els dos costats per $A^{-1}$ també per l'esquerra:

$A^{-1}AX = A^{-1}B \quad\Longrightarrow\quad X = A^{-1}B$

El determinant val $8$, diferent de zero, així que $A^{-1}$ existeix:

$A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{3}{8} & - \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$

Multiplicant:

$X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

L'element de la fila $2$ és $-1$.

Si l'equació fos $XA = B$, la solució seria $X = BA^{-1}$, amb la inversa a la dreta.

La traça és simplement la suma dels elements de la diagonal principal.

Primer el producte:

$A \cdot B = \begin{pmatrix} 2 & -8 \\ -2 & 8 \end{pmatrix}$

I ara sumem la diagonal:

$\operatorname{tr}(AB) = 2 + 8 = 10$

Una propietat útil: $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$, encara que $AB \neq BA$. I més endavant veuràs que la traça és també la suma dels valors propis.

Amb matrius no es pot «dividir»: s'aïlla multiplicant per la inversa, i el costat importa perquè el producte no és commutatiu.

Com que $A$ multiplica $X$ per l'esquerra, multipliquem els dos costats per $A^{-1}$ també per l'esquerra:

$A^{-1}AX = A^{-1}B \quad\Longrightarrow\quad X = A^{-1}B$

El determinant val $6$, diferent de zero, així que $A^{-1}$ existeix:

$A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{2} & \frac{2}{3} \end{pmatrix}$

Multiplicant:

$X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}$

L'element de la fila $1$ és $3$.

Si l'equació fos $XA = B$, la solució seria $X = BA^{-1}$, amb la inversa a la dreta.

La traça és simplement la suma dels elements de la diagonal principal.

Primer el producte:

$A \cdot B = \begin{pmatrix} -20 & -2 \\ 22 & -2 \end{pmatrix}$

I ara sumem la diagonal:

$\operatorname{tr}(AB) = -20 - 2 = -22$

Una propietat útil: $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$, encara que $AB \neq BA$. I més endavant veuràs que la traça és també la suma dels valors propis.

Amb matrius no es pot «dividir»: s'aïlla multiplicant per la inversa, i el costat importa perquè el producte no és commutatiu.

Com que $A$ multiplica $X$ per l'esquerra, multipliquem els dos costats per $A^{-1}$ també per l'esquerra:

$A^{-1}AX = A^{-1}B \quad\Longrightarrow\quad X = A^{-1}B$

El determinant val $11$, diferent de zero, així que $A^{-1}$ existeix:

$A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{4}{11} & \frac{3}{11} \\ - \frac{1}{11} & \frac{2}{11} \end{pmatrix}$

Multiplicant:

$X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \end{pmatrix}$

L'element de la fila $2$ és $-3$.

Si l'equació fos $XA = B$, la solució seria $X = BA^{-1}$, amb la inversa a la dreta.

La traça és simplement la suma dels elements de la diagonal principal.

Primer el producte:

$A \cdot B = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ -3 & -1 \end{pmatrix}$

I ara sumem la diagonal:

$\operatorname{tr}(AB) = 5 - 1 = 4$

Una propietat útil: $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$, encara que $AB \neq BA$. I més endavant veuràs que la traça és també la suma dels valors propis.

Amb matrius no es pot «dividir»: s'aïlla multiplicant per la inversa, i el costat importa perquè el producte no és commutatiu.

Com que $A$ multiplica $X$ per l'esquerra, multipliquem els dos costats per $A^{-1}$ també per l'esquerra:

$A^{-1}AX = A^{-1}B \quad\Longrightarrow\quad X = A^{-1}B$

El determinant val $-15$, diferent de zero, així que $A^{-1}$ existeix:

$A^{-1} = \begin{pmatrix} - \frac{1}{15} & \frac{4}{15} \\ \frac{1}{5} & \frac{1}{5} \end{pmatrix}$

Multiplicant:

$X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \end{pmatrix}$

L'element de la fila $1$ és $-2$.

Si l'equació fos $XA = B$, la solució seria $X = BA^{-1}$, amb la inversa a la dreta.

La traça és simplement la suma dels elements de la diagonal principal.

Primer el producte:

$A \cdot B = \begin{pmatrix} -18 & 0 \\ -8 & 12 \end{pmatrix}$

I ara sumem la diagonal:

$\operatorname{tr}(AB) = -18 + 12 = -6$

Una propietat útil: $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$, encara que $AB \neq BA$. I més endavant veuràs que la traça és també la suma dels valors propis.

Amb matrius no es pot «dividir»: s'aïlla multiplicant per la inversa, i el costat importa perquè el producte no és commutatiu.

Com que $A$ multiplica $X$ per l'esquerra, multipliquem els dos costats per $A^{-1}$ també per l'esquerra:

$A^{-1}AX = A^{-1}B \quad\Longrightarrow\quad X = A^{-1}B$

El determinant val $-9$, diferent de zero, així que $A^{-1}$ existeix:

$A^{-1} = \begin{pmatrix} - \frac{1}{3} & 0 \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{pmatrix}$

Multiplicant:

$X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \end{pmatrix}$

L'element de la fila $2$ és $-2$.

Si l'equació fos $XA = B$, la solució seria $X = BA^{-1}$, amb la inversa a la dreta.

La traça és simplement la suma dels elements de la diagonal principal.

Primer el producte:

$A \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ -4 & -12 \end{pmatrix}$

I ara sumem la diagonal:

$\operatorname{tr}(AB) = 1 - 12 = -11$

Una propietat útil: $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$, encara que $AB \neq BA$. I més endavant veuràs que la traça és també la suma dels valors propis.