Exercicis de matrius i equacions matricials

Amb matrius no es pot «dividir»: s'aïlla multiplicant per la inversa, i el costat importa perquè el producte no és commutatiu.

Com que $A$ multiplica $X$ per l'esquerra, multipliquem els dos costats per $A^{-1}$ també per l'esquerra:

$A^{-1}AX = A^{-1}B \quad\Longrightarrow\quad X = A^{-1}B$

El determinant val $-4$, diferent de zero, així que $A^{-1}$ existeix:

$A^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & \frac{1}{2} \\ 0 & \frac{1}{4} \end{pmatrix}$

Multiplicant:

$X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \end{pmatrix}$

L'element de la fila $2$ és $-2$.

Si l'equació fos $XA = B$, la solució seria $X = BA^{-1}$, amb la inversa a la dreta.

La traça és simplement la suma dels elements de la diagonal principal.

Primer el producte:

$A \cdot B = \begin{pmatrix} -3 & -1 \\ 6 & 15 \end{pmatrix}$

I ara sumem la diagonal:

$\operatorname{tr}(AB) = -3 + 15 = 12$

Una propietat útil: $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$, encara que $AB \neq BA$. I més endavant veuràs que la traça és també la suma dels valors propis.

Amb matrius no es pot «dividir»: s'aïlla multiplicant per la inversa, i el costat importa perquè el producte no és commutatiu.

Com que $A$ multiplica $X$ per l'esquerra, multipliquem els dos costats per $A^{-1}$ també per l'esquerra:

$A^{-1}AX = A^{-1}B \quad\Longrightarrow\quad X = A^{-1}B$

El determinant val $12$, diferent de zero, així que $A^{-1}$ existeix:

$A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & \frac{1}{12} \\ 0 & \frac{1}{3} \end{pmatrix}$

Multiplicant:

$X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}$

L'element de la fila $1$ és $3$.

Si l'equació fos $XA = B$, la solució seria $X = BA^{-1}$, amb la inversa a la dreta.

La traça és simplement la suma dels elements de la diagonal principal.

Primer el producte:

$A \cdot B = \begin{pmatrix} 9 & 11 \\ 3 & 9 \end{pmatrix}$

I ara sumem la diagonal:

$\operatorname{tr}(AB) = 9 + 9 = 18$

Una propietat útil: $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$, encara que $AB \neq BA$. I més endavant veuràs que la traça és també la suma dels valors propis.

Amb matrius no es pot «dividir»: s'aïlla multiplicant per la inversa, i el costat importa perquè el producte no és commutatiu.

Com que $A$ multiplica $X$ per l'esquerra, multipliquem els dos costats per $A^{-1}$ també per l'esquerra:

$A^{-1}AX = A^{-1}B \quad\Longrightarrow\quad X = A^{-1}B$

El determinant val $14$, diferent de zero, així que $A^{-1}$ existeix:

$A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{2}{7} & - \frac{1}{7} \\ - \frac{1}{14} & \frac{2}{7} \end{pmatrix}$

Multiplicant:

$X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$

L'element de la fila $2$ és $-3$.

Si l'equació fos $XA = B$, la solució seria $X = BA^{-1}$, amb la inversa a la dreta.

La traça és simplement la suma dels elements de la diagonal principal.

Primer el producte:

$A \cdot B = \begin{pmatrix} 15 & 10 \\ -8 & -4 \end{pmatrix}$

I ara sumem la diagonal:

$\operatorname{tr}(AB) = 15 - 4 = 11$

Una propietat útil: $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$, encara que $AB \neq BA$. I més endavant veuràs que la traça és també la suma dels valors propis.

Amb matrius no es pot «dividir»: s'aïlla multiplicant per la inversa, i el costat importa perquè el producte no és commutatiu.

Com que $A$ multiplica $X$ per l'esquerra, multipliquem els dos costats per $A^{-1}$ també per l'esquerra:

$A^{-1}AX = A^{-1}B \quad\Longrightarrow\quad X = A^{-1}B$

El determinant val $-12$, diferent de zero, així que $A^{-1}$ existeix:

$A^{-1} = \begin{pmatrix} - \frac{1}{3} & \frac{1}{6} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{12} \end{pmatrix}$

Multiplicant:

$X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$

L'element de la fila $1$ és $-1$.

Si l'equació fos $XA = B$, la solució seria $X = BA^{-1}$, amb la inversa a la dreta.

La traça és simplement la suma dels elements de la diagonal principal.

Primer el producte:

$A \cdot B = \begin{pmatrix} -8 & -8 \\ -12 & -12 \end{pmatrix}$

I ara sumem la diagonal:

$\operatorname{tr}(AB) = -8 - 12 = -20$

Una propietat útil: $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$, encara que $AB \neq BA$. I més endavant veuràs que la traça és també la suma dels valors propis.

Amb matrius no es pot «dividir»: s'aïlla multiplicant per la inversa, i el costat importa perquè el producte no és commutatiu.

Com que $A$ multiplica $X$ per l'esquerra, multipliquem els dos costats per $A^{-1}$ també per l'esquerra:

$A^{-1}AX = A^{-1}B \quad\Longrightarrow\quad X = A^{-1}B$

El determinant val $1$, diferent de zero, així que $A^{-1}$ existeix:

$A^{-1} = \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$

Multiplicant:

$X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \end{pmatrix}$

L'element de la fila $2$ és $0$.

Si l'equació fos $XA = B$, la solució seria $X = BA^{-1}$, amb la inversa a la dreta.

La traça és simplement la suma dels elements de la diagonal principal.

Primer el producte:

$A \cdot B = \begin{pmatrix} -11 & -6 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}$

I ara sumem la diagonal:

$\operatorname{tr}(AB) = -11 + 4 = -7$

Una propietat útil: $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$, encara que $AB \neq BA$. I més endavant veuràs que la traça és també la suma dels valors propis.