Exercicis de matrius i equacions matricials

Amb matrius no es pot «dividir»: s'aïlla multiplicant per la inversa, i el costat importa perquè el producte no és commutatiu.

Com que $A$ multiplica $X$ per l'esquerra, multipliquem els dos costats per $A^{-1}$ també per l'esquerra:

$A^{-1}AX = A^{-1}B \quad\Longrightarrow\quad X = A^{-1}B$

El determinant val $-2$, diferent de zero, així que $A^{-1}$ existeix:

$A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$

Multiplicant:

$X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

L'element de la fila $2$ és $0$.

Si l'equació fos $XA = B$, la solució seria $X = BA^{-1}$, amb la inversa a la dreta.

La traça és simplement la suma dels elements de la diagonal principal.

Primer el producte:

$A \cdot B = \begin{pmatrix} 9 & -6 \\ 9 & 6 \end{pmatrix}$

I ara sumem la diagonal:

$\operatorname{tr}(AB) = 9 + 6 = 15$

Una propietat útil: $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$, encara que $AB \neq BA$. I més endavant veuràs que la traça és també la suma dels valors propis.

Amb matrius no es pot «dividir»: s'aïlla multiplicant per la inversa, i el costat importa perquè el producte no és commutatiu.

Com que $A$ multiplica $X$ per l'esquerra, multipliquem els dos costats per $A^{-1}$ també per l'esquerra:

$A^{-1}AX = A^{-1}B \quad\Longrightarrow\quad X = A^{-1}B$

El determinant val $5$, diferent de zero, així que $A^{-1}$ existeix:

$A^{-1} = \begin{pmatrix} - \frac{2}{5} & - \frac{1}{5} \\ \frac{1}{5} & - \frac{2}{5} \end{pmatrix}$

Multiplicant:

$X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix}$

L'element de la fila $1$ és $1$.

Si l'equació fos $XA = B$, la solució seria $X = BA^{-1}$, amb la inversa a la dreta.

La traça és simplement la suma dels elements de la diagonal principal.

Primer el producte:

$A \cdot B = \begin{pmatrix} 3 & -6 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

I ara sumem la diagonal:

$\operatorname{tr}(AB) = 3 + 0 = 3$

Una propietat útil: $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$, encara que $AB \neq BA$. I més endavant veuràs que la traça és també la suma dels valors propis.

Amb matrius no es pot «dividir»: s'aïlla multiplicant per la inversa, i el costat importa perquè el producte no és commutatiu.

Com que $A$ multiplica $X$ per l'esquerra, multipliquem els dos costats per $A^{-1}$ també per l'esquerra:

$A^{-1}AX = A^{-1}B \quad\Longrightarrow\quad X = A^{-1}B$

El determinant val $-3$, diferent de zero, així que $A^{-1}$ existeix:

$A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} \\ - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} \end{pmatrix}$

Multiplicant:

$X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix}$

L'element de la fila $2$ és $1$.

Si l'equació fos $XA = B$, la solució seria $X = BA^{-1}$, amb la inversa a la dreta.

La traça és simplement la suma dels elements de la diagonal principal.

Primer el producte:

$A \cdot B = \begin{pmatrix} -9 & 0 \\ -13 & -10 \end{pmatrix}$

I ara sumem la diagonal:

$\operatorname{tr}(AB) = -9 - 10 = -19$

Una propietat útil: $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$, encara que $AB \neq BA$. I més endavant veuràs que la traça és també la suma dels valors propis.

Amb matrius no es pot «dividir»: s'aïlla multiplicant per la inversa, i el costat importa perquè el producte no és commutatiu.

Com que $A$ multiplica $X$ per l'esquerra, multipliquem els dos costats per $A^{-1}$ també per l'esquerra:

$A^{-1}AX = A^{-1}B \quad\Longrightarrow\quad X = A^{-1}B$

El determinant val $6$, diferent de zero, així que $A^{-1}$ existeix:

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{pmatrix}$

Multiplicant:

$X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \end{pmatrix}$

L'element de la fila $1$ és $3$.

Si l'equació fos $XA = B$, la solució seria $X = BA^{-1}$, amb la inversa a la dreta.

La traça és simplement la suma dels elements de la diagonal principal.

Primer el producte:

$A \cdot B = \begin{pmatrix} 6 & 4 \\ -9 & -3 \end{pmatrix}$

I ara sumem la diagonal:

$\operatorname{tr}(AB) = 6 - 3 = 3$

Una propietat útil: $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$, encara que $AB \neq BA$. I més endavant veuràs que la traça és també la suma dels valors propis.

Amb matrius no es pot «dividir»: s'aïlla multiplicant per la inversa, i el costat importa perquè el producte no és commutatiu.

Com que $A$ multiplica $X$ per l'esquerra, multipliquem els dos costats per $A^{-1}$ també per l'esquerra:

$A^{-1}AX = A^{-1}B \quad\Longrightarrow\quad X = A^{-1}B$

El determinant val $-10$, diferent de zero, així que $A^{-1}$ existeix:

$A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{3}{10} & \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{10} & - \frac{2}{5} \end{pmatrix}$

Multiplicant:

$X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$

L'element de la fila $2$ és $2$.

Si l'equació fos $XA = B$, la solució seria $X = BA^{-1}$, amb la inversa a la dreta.

La traça és simplement la suma dels elements de la diagonal principal.

Primer el producte:

$A \cdot B = \begin{pmatrix} 10 & 8 \\ -8 & -6 \end{pmatrix}$

I ara sumem la diagonal:

$\operatorname{tr}(AB) = 10 - 6 = 4$

Una propietat útil: $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$, encara que $AB \neq BA$. I més endavant veuràs que la traça és també la suma dels valors propis.