Exercicis de matrius i equacions matricials

Amb matrius no es pot «dividir»: s'aïlla multiplicant per la inversa, i el costat importa perquè el producte no és commutatiu.

Com que $A$ multiplica $X$ per l'esquerra, multipliquem els dos costats per $A^{-1}$ també per l'esquerra:

$A^{-1}AX = A^{-1}B \quad\Longrightarrow\quad X = A^{-1}B$

El determinant val $2$, diferent de zero, així que $A^{-1}$ existeix:

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -2 & - \frac{3}{2} \end{pmatrix}$

Multiplicant:

$X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}$

L'element de la fila $1$ és $0$.

Si l'equació fos $XA = B$, la solució seria $X = BA^{-1}$, amb la inversa a la dreta.

Amb matrius no es pot «dividir»: s'aïlla multiplicant per la inversa, i el costat importa perquè el producte no és commutatiu.

Com que $A$ multiplica $X$ per l'esquerra, multipliquem els dos costats per $A^{-1}$ també per l'esquerra:

$A^{-1}AX = A^{-1}B \quad\Longrightarrow\quad X = A^{-1}B$

El determinant val $-6$, diferent de zero, així que $A^{-1}$ existeix:

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & - \frac{1}{3} \\ - \frac{1}{2} & - \frac{2}{3} \end{pmatrix}$

Multiplicant:

$X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix}$

L'element de la fila $2$ és $0$.

Si l'equació fos $XA = B$, la solució seria $X = BA^{-1}$, amb la inversa a la dreta.

Amb matrius no es pot «dividir»: s'aïlla multiplicant per la inversa, i el costat importa perquè el producte no és commutatiu.

Com que $A$ multiplica $X$ per l'esquerra, multipliquem els dos costats per $A^{-1}$ també per l'esquerra:

$A^{-1}AX = A^{-1}B \quad\Longrightarrow\quad X = A^{-1}B$

El determinant val $5$, diferent de zero, així que $A^{-1}$ existeix:

$A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ - \frac{4}{5} & - \frac{1}{5} \end{pmatrix}$

Multiplicant:

$X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix}$

L'element de la fila $1$ és $0$.

Si l'equació fos $XA = B$, la solució seria $X = BA^{-1}$, amb la inversa a la dreta.

Amb matrius no es pot «dividir»: s'aïlla multiplicant per la inversa, i el costat importa perquè el producte no és commutatiu.

Com que $A$ multiplica $X$ per l'esquerra, multipliquem els dos costats per $A^{-1}$ també per l'esquerra:

$A^{-1}AX = A^{-1}B \quad\Longrightarrow\quad X = A^{-1}B$

El determinant val $-4$, diferent de zero, així que $A^{-1}$ existeix:

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & - \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \end{pmatrix}$

Multiplicant:

$X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

L'element de la fila $2$ és $-1$.

Si l'equació fos $XA = B$, la solució seria $X = BA^{-1}$, amb la inversa a la dreta.

Amb matrius no es pot «dividir»: s'aïlla multiplicant per la inversa, i el costat importa perquè el producte no és commutatiu.

Com que $A$ multiplica $X$ per l'esquerra, multipliquem els dos costats per $A^{-1}$ també per l'esquerra:

$A^{-1}AX = A^{-1}B \quad\Longrightarrow\quad X = A^{-1}B$

El determinant val $-18$, diferent de zero, així que $A^{-1}$ existeix:

$A^{-1} = \begin{pmatrix} - \frac{2}{9} & \frac{1}{6} \\ \frac{1}{9} & \frac{1}{6} \end{pmatrix}$

Multiplicant:

$X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$

L'element de la fila $1$ és $3$.

Si l'equació fos $XA = B$, la solució seria $X = BA^{-1}$, amb la inversa a la dreta.

Amb matrius no es pot «dividir»: s'aïlla multiplicant per la inversa, i el costat importa perquè el producte no és commutatiu.

Com que $A$ multiplica $X$ per l'esquerra, multipliquem els dos costats per $A^{-1}$ també per l'esquerra:

$A^{-1}AX = A^{-1}B \quad\Longrightarrow\quad X = A^{-1}B$

El determinant val $-6$, diferent de zero, així que $A^{-1}$ existeix:

$A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} \\ - \frac{1}{3} & - \frac{1}{6} \end{pmatrix}$

Multiplicant:

$X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$

L'element de la fila $2$ és $-1$.

Si l'equació fos $XA = B$, la solució seria $X = BA^{-1}$, amb la inversa a la dreta.

Amb matrius no es pot «dividir»: s'aïlla multiplicant per la inversa, i el costat importa perquè el producte no és commutatiu.

Com que $A$ multiplica $X$ per l'esquerra, multipliquem els dos costats per $A^{-1}$ també per l'esquerra:

$A^{-1}AX = A^{-1}B \quad\Longrightarrow\quad X = A^{-1}B$

El determinant val $3$, diferent de zero, així que $A^{-1}$ existeix:

$A^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ - \frac{4}{3} & 1 \end{pmatrix}$

Multiplicant:

$X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \end{pmatrix}$

L'element de la fila $1$ és $2$.

Si l'equació fos $XA = B$, la solució seria $X = BA^{-1}$, amb la inversa a la dreta.

Amb matrius no es pot «dividir»: s'aïlla multiplicant per la inversa, i el costat importa perquè el producte no és commutatiu.

Com que $A$ multiplica $X$ per l'esquerra, multipliquem els dos costats per $A^{-1}$ també per l'esquerra:

$A^{-1}AX = A^{-1}B \quad\Longrightarrow\quad X = A^{-1}B$

El determinant val $2$, diferent de zero, així que $A^{-1}$ existeix:

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$

Multiplicant:

$X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}$

L'element de la fila $2$ és $3$.

Si l'equació fos $XA = B$, la solució seria $X = BA^{-1}$, amb la inversa a la dreta.