Exercicis de matrius i equacions matricials

Amb matrius no es pot «dividir»: s'aïlla multiplicant per la inversa, i el costat importa perquè el producte no és commutatiu.

Com que $A$ multiplica $X$ per l'esquerra, multipliquem els dos costats per $A^{-1}$ també per l'esquerra:

$A^{-1}AX = A^{-1}B \quad\Longrightarrow\quad X = A^{-1}B$

El determinant val $-3$, diferent de zero, així que $A^{-1}$ existeix:

$A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ - \frac{1}{3} & - \frac{4}{3} \end{pmatrix}$

Multiplicant:

$X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

L'element de la fila $1$ és $1$.

Si l'equació fos $XA = B$, la solució seria $X = BA^{-1}$, amb la inversa a la dreta.

La traça és simplement la suma dels elements de la diagonal principal.

Primer el producte:

$A \cdot B = \begin{pmatrix} 7 & -6 \\ -1 & -3 \end{pmatrix}$

I ara sumem la diagonal:

$\operatorname{tr}(AB) = 7 - 3 = 4$

Una propietat útil: $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$, encara que $AB \neq BA$. I més endavant veuràs que la traça és també la suma dels valors propis.

Amb matrius no es pot «dividir»: s'aïlla multiplicant per la inversa, i el costat importa perquè el producte no és commutatiu.

Com que $A$ multiplica $X$ per l'esquerra, multipliquem els dos costats per $A^{-1}$ també per l'esquerra:

$A^{-1}AX = A^{-1}B \quad\Longrightarrow\quad X = A^{-1}B$

El determinant val $7$, diferent de zero, així que $A^{-1}$ existeix:

$A^{-1} = \begin{pmatrix} - \frac{3}{7} & \frac{2}{7} \\ - \frac{2}{7} & - \frac{1}{7} \end{pmatrix}$

Multiplicant:

$X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}$

L'element de la fila $2$ és $2$.

Si l'equació fos $XA = B$, la solució seria $X = BA^{-1}$, amb la inversa a la dreta.

La traça és simplement la suma dels elements de la diagonal principal.

Primer el producte:

$A \cdot B = \begin{pmatrix} 0 & 6 \\ 3 & -9 \end{pmatrix}$

I ara sumem la diagonal:

$\operatorname{tr}(AB) = 0 - 9 = -9$

Una propietat útil: $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$, encara que $AB \neq BA$. I més endavant veuràs que la traça és també la suma dels valors propis.

Amb matrius no es pot «dividir»: s'aïlla multiplicant per la inversa, i el costat importa perquè el producte no és commutatiu.

Com que $A$ multiplica $X$ per l'esquerra, multipliquem els dos costats per $A^{-1}$ també per l'esquerra:

$A^{-1}AX = A^{-1}B \quad\Longrightarrow\quad X = A^{-1}B$

El determinant val $2$, diferent de zero, així que $A^{-1}$ existeix:

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2} \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$

Multiplicant:

$X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \end{pmatrix}$

L'element de la fila $1$ és $-2$.

Si l'equació fos $XA = B$, la solució seria $X = BA^{-1}$, amb la inversa a la dreta.

La traça és simplement la suma dels elements de la diagonal principal.

Primer el producte:

$A \cdot B = \begin{pmatrix} -10 & -2 \\ 5 & -1 \end{pmatrix}$

I ara sumem la diagonal:

$\operatorname{tr}(AB) = -10 - 1 = -11$

Una propietat útil: $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$, encara que $AB \neq BA$. I més endavant veuràs que la traça és també la suma dels valors propis.

Amb matrius no es pot «dividir»: s'aïlla multiplicant per la inversa, i el costat importa perquè el producte no és commutatiu.

Com que $A$ multiplica $X$ per l'esquerra, multipliquem els dos costats per $A^{-1}$ també per l'esquerra:

$A^{-1}AX = A^{-1}B \quad\Longrightarrow\quad X = A^{-1}B$

El determinant val $-2$, diferent de zero, així que $A^{-1}$ existeix:

$A^{-1} = \begin{pmatrix} - \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$

Multiplicant:

$X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$

L'element de la fila $2$ és $1$.

Si l'equació fos $XA = B$, la solució seria $X = BA^{-1}$, amb la inversa a la dreta.

La traça és simplement la suma dels elements de la diagonal principal.

Primer el producte:

$A \cdot B = \begin{pmatrix} -4 & 7 \\ 4 & -7 \end{pmatrix}$

I ara sumem la diagonal:

$\operatorname{tr}(AB) = -4 - 7 = -11$

Una propietat útil: $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$, encara que $AB \neq BA$. I més endavant veuràs que la traça és també la suma dels valors propis.

Amb matrius no es pot «dividir»: s'aïlla multiplicant per la inversa, i el costat importa perquè el producte no és commutatiu.

Com que $A$ multiplica $X$ per l'esquerra, multipliquem els dos costats per $A^{-1}$ també per l'esquerra:

$A^{-1}AX = A^{-1}B \quad\Longrightarrow\quad X = A^{-1}B$

El determinant val $16$, diferent de zero, així que $A^{-1}$ existeix:

$A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{16} & \frac{3}{16} \\ - \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}$

Multiplicant:

$X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}$

L'element de la fila $1$ és $2$.

Si l'equació fos $XA = B$, la solució seria $X = BA^{-1}$, amb la inversa a la dreta.

La traça és simplement la suma dels elements de la diagonal principal.

Primer el producte:

$A \cdot B = \begin{pmatrix} -3 & 15 \\ -9 & -3 \end{pmatrix}$

I ara sumem la diagonal:

$\operatorname{tr}(AB) = -3 - 3 = -6$

Una propietat útil: $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$, encara que $AB \neq BA$. I més endavant veuràs que la traça és també la suma dels valors propis.