Proporcionalitat inversa: producte constant i problemes de treball
Vols practicar? Aquest tema té 115 exercicis interactius de 4 tipus, de deu en deu, amb correcció immediata i explicació pas a pas.
A la proporcionalitat directa, les dues magnituds pugen alhora. A la inversa, quan una puja l'altra baixa, i el que es manté constant no és el quocient sinó el producte. Canviar aquesta paraula és tot el que separa els dos models.
El que has de dominar abans: productes i quocients, i la proporcionalitat directa.
El producte constant
Dues magnituds positives són inversament proporcionals si
De la fórmula surten les propietats que serveixen per reconèixer-la:
Si multipliques una per un factor, l'altra es divideix pel mateix factor. Doble de màquines, meitat de temps. Triple de velocitat, un terç del temps.
No es pot arribar a zero. Si una es fa molt petita, l'altra es fa molt gran, i a l'inrevés. El producte s'ha de mantenir, de manera que cap de les dues no pot valer zero.
La gràfica és una hipèrbola, no una recta: una corba que s'acosta als dos eixos sense tocar-los mai.
L'exemple més clar és el temps de recorregut: per a una distància fixa, el temps i la velocitat compleixen que el seu producte és la distància, de manera que el temps és la distància dividida per la velocitat. La distància és la constant.
A la inversa no s'igualen quocients
Aquest és l'error que fa fallar la majoria dels problemes. Amb proporcionalitat directa escrius
però amb proporcionalitat inversa el que has d'escriure és
La comprovació que no falla: mira el sentit del resultat. Si afegeixes màquines idèntiques i el model et dona més temps, has igualat quocients quan havies d'igualar productes. Posa-hi un moment d'atenció abans de donar la resposta: el sentit comú detecta aquest error immediatament.
Problemes de treball: el model i els seus límits
En els problemes de màquines, bombes o persones que fan una feina, la idea és que la feina total és la constant. Es mesura en unitats com bomba-hores o persona-hores, i surt de multiplicar el nombre de recursos pel temps.
Aquest model, però, només és vàlid si es compleixen unes condicions, i l'enunciat les ha de donar o les has d'assumir explícitament:
- la feina és fixa i no canvia pel camí;
- tots els recursos tenen la mateixa productivitat;
- poden treballar alhora sense destorbar-se;
- no hi ha temps de posada en marxa ni d'aprenentatge.
Quan alguna d'aquestes condicions falla, el model deixa de descriure la realitat. Hi ha feines que no es poden repartir de cap manera: coure un pastís triga el que triga encara que hi hagi dotze cuiners, perquè el forn no va més de pressa per tenir més gent al voltant.
Bombes que buiden un dipòsit
Quatre bombes iguals buiden un dipòsit en hores. Quant trigarien vuit bombes?
Pas 1 — declara els supòsits. Cabal constant, cap entrada d'aigua, les vuit bombes treballant alhora i sense interferir-se. Sense aquests supòsits el problema no té resposta única.
Pas 2 — calcula la feina total.
Aquesta és la constant: buidar el dipòsit costa vint-i-quatre bomba-hores, independentment de com les reparteixis.
Pas 3 — reparteix-la entre les vuit bombes.
Comprovació del sentit. Hem doblat les bombes i el temps s'ha dividit per dos, de sis a tres hores. És exactament el comportament que ha de tenir un model invers.
Comprovació del producte. i ✓. El producte es manté, que és la definició del model.
Temps a dues velocitats diferents
Un trajecte és de km. Calcula el temps a i a km/h.
La constant és la distància.
Tres hores i dues hores, respectivament.
Comprovació del model invers. La velocitat s'ha multiplicat per i el temps s'ha dividit per ✓
Una pregunta que sol venir després. Si fas la meitat del trajecte a i l'altra meitat a , quina és la velocitat mitjana? La temptació és respondre , la mitjana de les dues. Però no:
Per què surt menys de setanta-cinc. Perquè passes més temps anant a la velocitat lenta que a la ràpida, i la velocitat mitjana és distància total entre temps total, no la mitjana de les velocitats. Aquesta és una de les trampes més clàssiques del tema, i surt directament del fet que la relació és inversa.
Pregunta't sempre què queda constant
Davant d'un problema de proporcionalitat, abans de calcular res, respon aquesta pregunta: què és el que no canvia?
Si el que no canvia és el quocient (euros per quilo, quilòmetres per litre), és proporcionalitat directa. Si el que no canvia és el producte (bomba-hores, persona-dies, distància total), és inversa.
Identificar la constant és la part difícil del problema. Un cop la tens, el càlcul és una divisió.
Exercici resolt: quinze màquines
Sis màquines fan una feina en hores. Quant trigarien quinze màquines iguals?
Supòsits. Màquines idèntiques, treballant alhora, feina fixa i repartible. L'enunciat diu «iguals», que confirma la productivitat idèntica.
Feina total.
Temps amb quinze màquines.
Comprovació. ✓, el mateix producte.
Comprovació de sentit. Hem multiplicat les màquines per i el temps s'ha dividit per . Correcte.
Un detall de presentació. Aquí el resultat surt exacte, però amb altres números pot sortir una fracció d'hora. Si et surt hores, la resposta més útil és «quatre hores i quinze minuts»: convertir la part decimal a minuts multiplicant per seixanta.
Exercici resolt: dotze cuiners i un pastís
Una persona afirma que dotze cuiners poden coure un pastís en la meitat de temps que sis. És suficient aquesta dada per usar proporcionalitat inversa?
La resposta és que no, i la justificació és el que es valora en aquest exercici.
Què demanaria el model. Per aplicar la proporcionalitat inversa caldria que la feina fos repartible entre els cuiners: que dos cuiners poguessin fer simultàniament la meitat de la feina cadascun.
Per què aquí no es compleix. La cocció és un procés que depèn del forn i del temps, no del nombre de persones. Si un pastís necessita quaranta minuts al forn, en necessita quaranta tant amb sis cuiners com amb dotze: posar més gent a la cuina no fa que el pastís es cogui més de pressa.
La resposta completa. La dada que falta és quina part de la feina és repartible. Si el problema parlés de preparar dotze pastissos independents, sí que hi hauria proporcionalitat inversa en la part de preparació. Si parla de coure un sol pastís, el temps de forn és una constant que no es pot dividir.
La lliçó general. Abans d'aplicar un model, comprova que les seves condicions es compleixin. Un model aplicat a una situació que no el compleix dona un número, i aquest número és fals. Això és una cosa que la calculadora no et pot avisar.
On ho faràs servir
La proporcionalitat inversa apareix sempre que hi ha un recurs fix que es reparteix: temps i velocitat, nombre de persones i durada, cabal i temps d'ompliment, preu unitari i quantitat que pots comprar amb un pressupost tancat.
A física la trobaràs a la llei de Boyle, que relaciona pressió i volum d'un gas a temperatura constant, a la llei d'Ohm quan es fixa la tensió, i en la relació entre força i distància en una palanca. En tots aquests casos la fórmula té la mateixa forma: un producte que es manté constant.
I al bloc de funcions reapareixerà com la funció de proporcionalitat inversa, amb la seva gràfica d'hipèrbola i les seves asímptotes. Entendre ara per què no pot valer zero cap de les dues magnituds t'estalviarà la part conceptual d'aquell tema.
Ara prova-ho tu. 115 exercicis d'aquest tema, de 4 tipus diferents, per resoldre en línia, de deu en deu: escrius la resposta, te la corregeix a l'instant i, si falles, t'explica com es fa pas a pas. Quan acabis una tanda, en tens deu més, amb dades noves.
Fer els exercicisSimulacre d'examen