Exercicis de multiplicadors de Lagrange

Amb Lagrange. Les equacions $2x = \lambda$ i $2y = \lambda$ diuen que el punt òptim és proporcional a $(1,1)$, és a dir que està sobre la perpendicular a la recta per l'origen. Imposant la restricció surt

$(x,y) = \frac{3}{2}(1,1),\qquad x^{2}+y^{2} = \frac{3^{2}}{2} = \frac{9}{2} \approx 4.5000$

Interpretació geomètrica. El resultat és el quadrat de la distància de l'origen a la recta, i la fórmula coincideix amb la distància punt-recta que ja coneixes.

Globalitat. El conjunt factible no és compacte, però la funció és coerciva sobre la recta (creix sense límit en allunyar-se), de manera que el mínim existeix i l'únic candidat és l'òptim global.

Pas 1 — les equacions. Maximitzant el producte amb la restricció de suma fixada, cada equació de Lagrange diu que el producte de tots els números excepte un val el multiplicador. Com que això val per a tots, tots els números han de coincidir.

Pas 2 — el valor. Amb tots iguals a $2/2 = 1$,

$\text{producte} = \left(\frac{2}{2}\right)^{2} = 1$

El resultat clàssic que hi ha al darrere. Aquesta és exactament la desigualtat entre la mitjana geomètrica i l'aritmètica: el producte de números positius mai no supera la seva mitjana elevada al nombre de factors, amb igualtat només quan tots coincideixen.

Existència. El conjunt de números positius que sumen $2$ no és tancat, però quan qualsevol d'ells tendeix a zero el producte també hi tendeix. Per tant el màxim s'assoleix a l'interior i l'únic candidat és l'òptim.

Camí ràpid: parametritzar. Amb $x = \cos t$ i $y = \sin t$, el producte val

$xy = \sin t\cos t = \frac{1}{2}\sin(2t)$

i el seu màxim és $\frac{1}{2}$, assolit quan $\sin(2t) = 1$.

Camí amb Lagrange. Les equacions donen $x^{2}/1 = y^{2}/1$, o sigui que cada terme de la restricció val $1/2$. D'aquí $x = 1/\sqrt2$ i $y = 1/\sqrt2$, i el producte és $\frac{1}{2}$.

Existència garantida. L'el·lipse és compacta i la funció és contínua, de manera que per Weierstrass hi ha màxim i mínim. El mínim val $-\frac{1}{2}$, per simetria.

$\max = \frac{1}{2} \approx 0.5000$

Amb Lagrange. Les equacions $2x = \lambda$ i $2y = \lambda$ diuen que el punt òptim és proporcional a $(1,1)$, és a dir que està sobre la perpendicular a la recta per l'origen. Imposant la restricció surt

$(x,y) = \frac{2}{2}(1,1),\qquad x^{2}+y^{2} = \frac{2^{2}}{2} = 2$

Interpretació geomètrica. El resultat és el quadrat de la distància de l'origen a la recta, i la fórmula coincideix amb la distància punt-recta que ja coneixes.

Globalitat. El conjunt factible no és compacte, però la funció és coerciva sobre la recta (creix sense límit en allunyar-se), de manera que el mínim existeix i l'únic candidat és l'òptim global.

Pas 1 — les equacions. Maximitzant el producte amb la restricció de suma fixada, cada equació de Lagrange diu que el producte de tots els números excepte un val el multiplicador. Com que això val per a tots, tots els números han de coincidir.

Pas 2 — el valor. Amb tots iguals a $2/3 = \frac{2}{3}$,

$\text{producte} = \left(\frac{2}{3}\right)^{3} = \frac{8}{27} \approx 0.2963$

El resultat clàssic que hi ha al darrere. Aquesta és exactament la desigualtat entre la mitjana geomètrica i l'aritmètica: el producte de números positius mai no supera la seva mitjana elevada al nombre de factors, amb igualtat només quan tots coincideixen.

Existència. El conjunt de números positius que sumen $2$ no és tancat, però quan qualsevol d'ells tendeix a zero el producte també hi tendeix. Per tant el màxim s'assoleix a l'interior i l'únic candidat és l'òptim.

Camí ràpid: parametritzar. Amb $x = 2\cos t$ i $y = \sin t$, el producte val

$xy = 2\sin t\cos t = \frac{2}{2}\sin(2t)$

i el seu màxim és $1$, assolit quan $\sin(2t) = 1$.

Camí amb Lagrange. Les equacions donen $x^{2}/4 = y^{2}/1$, o sigui que cada terme de la restricció val $1/2$. D'aquí $x = 2/\sqrt2$ i $y = 1/\sqrt2$, i el producte és $1$.

Existència garantida. L'el·lipse és compacta i la funció és contínua, de manera que per Weierstrass hi ha màxim i mínim. El mínim val $-1$, per simetria.

$\max = 1$

Amb Lagrange. Les equacions $2x = 2\lambda$ i $2y = \lambda$ diuen que el punt òptim és proporcional a $(2,1)$, és a dir que està sobre la perpendicular a la recta per l'origen. Imposant la restricció surt

$(x,y) = \frac{4}{5}(2,1),\qquad x^{2}+y^{2} = \frac{4^{2}}{5} = \frac{16}{5} \approx 3.2000$

Interpretació geomètrica. El resultat és el quadrat de la distància de l'origen a la recta, i la fórmula coincideix amb la distància punt-recta que ja coneixes.

Globalitat. El conjunt factible no és compacte, però la funció és coerciva sobre la recta (creix sense límit en allunyar-se), de manera que el mínim existeix i l'únic candidat és l'òptim global.

Pas 1 — les equacions. Maximitzant el producte amb la restricció de suma fixada, cada equació de Lagrange diu que el producte de tots els números excepte un val el multiplicador. Com que això val per a tots, tots els números han de coincidir.

Pas 2 — el valor. Amb tots iguals a $4/2 = 2$,

$\text{producte} = \left(\frac{4}{2}\right)^{2} = 4$

El resultat clàssic que hi ha al darrere. Aquesta és exactament la desigualtat entre la mitjana geomètrica i l'aritmètica: el producte de números positius mai no supera la seva mitjana elevada al nombre de factors, amb igualtat només quan tots coincideixen.

Existència. El conjunt de números positius que sumen $4$ no és tancat, però quan qualsevol d'ells tendeix a zero el producte també hi tendeix. Per tant el màxim s'assoleix a l'interior i l'únic candidat és l'òptim.

Camí ràpid: parametritzar. Amb $x = \cos t$ i $y = 2\sin t$, el producte val

$xy = 2\sin t\cos t = \frac{2}{2}\sin(2t)$

i el seu màxim és $1$, assolit quan $\sin(2t) = 1$.

Camí amb Lagrange. Les equacions donen $x^{2}/1 = y^{2}/4$, o sigui que cada terme de la restricció val $1/2$. D'aquí $x = 1/\sqrt2$ i $y = 2/\sqrt2$, i el producte és $1$.

Existència garantida. L'el·lipse és compacta i la funció és contínua, de manera que per Weierstrass hi ha màxim i mínim. El mínim val $-1$, per simetria.

$\max = 1$

Amb Lagrange. Les equacions $2x = \lambda$ i $2y = 2\lambda$ diuen que el punt òptim és proporcional a $(1,2)$, és a dir que està sobre la perpendicular a la recta per l'origen. Imposant la restricció surt

$(x,y) = \frac{5}{5}(1,2),\qquad x^{2}+y^{2} = \frac{5^{2}}{5} = 5$

Interpretació geomètrica. El resultat és el quadrat de la distància de l'origen a la recta, i la fórmula coincideix amb la distància punt-recta que ja coneixes.

Globalitat. El conjunt factible no és compacte, però la funció és coerciva sobre la recta (creix sense límit en allunyar-se), de manera que el mínim existeix i l'únic candidat és l'òptim global.