Exercicis de multiplicadors de Lagrange

Amb Lagrange. Les equacions $2x = 7\lambda$ i $2y = 24\lambda$ diuen que el punt òptim és proporcional a $(7,24)$, és a dir que està sobre la perpendicular a la recta per l'origen. Imposant la restricció surt

$(x,y) = \frac{25}{625}(7,24),\qquad x^{2}+y^{2} = \frac{25^{2}}{625} = 1$

Interpretació geomètrica. El resultat és el quadrat de la distància de l'origen a la recta, i la fórmula coincideix amb la distància punt-recta que ja coneixes.

Globalitat. El conjunt factible no és compacte, però la funció és coerciva sobre la recta (creix sense límit en allunyar-se), de manera que el mínim existeix i l'únic candidat és l'òptim global.

Camí ràpid: parametritzar. Amb $x = 6\cos t$ i $y = 7\sin t$, el producte val

$xy = 42\sin t\cos t = \frac{42}{2}\sin(2t)$

i el seu màxim és $21$, assolit quan $\sin(2t) = 1$.

Camí amb Lagrange. Les equacions donen $x^{2}/36 = y^{2}/49$, o sigui que cada terme de la restricció val $1/2$. D'aquí $x = 6/\sqrt2$ i $y = 7/\sqrt2$, i el producte és $21$.

Existència garantida. L'el·lipse és compacta i la funció és contínua, de manera que per Weierstrass hi ha màxim i mínim. El mínim val $-21$, per simetria.

$\max = 21$

Amb Lagrange. Les equacions $2x = 8\lambda$ i $2y = 15\lambda$ diuen que el punt òptim és proporcional a $(8,15)$, és a dir que està sobre la perpendicular a la recta per l'origen. Imposant la restricció surt

$(x,y) = \frac{17}{289}(8,15),\qquad x^{2}+y^{2} = \frac{17^{2}}{289} = 1$

Interpretació geomètrica. El resultat és el quadrat de la distància de l'origen a la recta, i la fórmula coincideix amb la distància punt-recta que ja coneixes.

Globalitat. El conjunt factible no és compacte, però la funció és coerciva sobre la recta (creix sense límit en allunyar-se), de manera que el mínim existeix i l'únic candidat és l'òptim global.

Camí ràpid: parametritzar. Amb $x = 7\cos t$ i $y = 6\sin t$, el producte val

$xy = 42\sin t\cos t = \frac{42}{2}\sin(2t)$

i el seu màxim és $21$, assolit quan $\sin(2t) = 1$.

Camí amb Lagrange. Les equacions donen $x^{2}/49 = y^{2}/36$, o sigui que cada terme de la restricció val $1/2$. D'aquí $x = 7/\sqrt2$ i $y = 6/\sqrt2$, i el producte és $21$.

Existència garantida. L'el·lipse és compacta i la funció és contínua, de manera que per Weierstrass hi ha màxim i mínim. El mínim val $-21$, per simetria.

$\max = 21$

Amb Lagrange. Les equacions $2x = \lambda$ i $2y = \lambda$ diuen que el punt òptim és proporcional a $(1,1)$, és a dir que està sobre la perpendicular a la recta per l'origen. Imposant la restricció surt

$(x,y) = \frac{10}{2}(1,1),\qquad x^{2}+y^{2} = \frac{10^{2}}{2} = 50$

Interpretació geomètrica. El resultat és el quadrat de la distància de l'origen a la recta, i la fórmula coincideix amb la distància punt-recta que ja coneixes.

Globalitat. El conjunt factible no és compacte, però la funció és coerciva sobre la recta (creix sense límit en allunyar-se), de manera que el mínim existeix i l'únic candidat és l'òptim global.

Camí ràpid: parametritzar. Amb $x = 2\cos t$ i $y = 11\sin t$, el producte val

$xy = 22\sin t\cos t = \frac{22}{2}\sin(2t)$

i el seu màxim és $11$, assolit quan $\sin(2t) = 1$.

Camí amb Lagrange. Les equacions donen $x^{2}/4 = y^{2}/121$, o sigui que cada terme de la restricció val $1/2$. D'aquí $x = 2/\sqrt2$ i $y = 11/\sqrt2$, i el producte és $11$.

Existència garantida. L'el·lipse és compacta i la funció és contínua, de manera que per Weierstrass hi ha màxim i mínim. El mínim val $-11$, per simetria.

$\max = 11$

Amb Lagrange. Les equacions $2x = 2\lambda$ i $2y = 2\lambda$ diuen que el punt òptim és proporcional a $(2,2)$, és a dir que està sobre la perpendicular a la recta per l'origen. Imposant la restricció surt

$(x,y) = \frac{10}{8}(2,2),\qquad x^{2}+y^{2} = \frac{10^{2}}{8} = \frac{25}{2} \approx 12.5000$

Interpretació geomètrica. El resultat és el quadrat de la distància de l'origen a la recta, i la fórmula coincideix amb la distància punt-recta que ja coneixes.

Globalitat. El conjunt factible no és compacte, però la funció és coerciva sobre la recta (creix sense límit en allunyar-se), de manera que el mínim existeix i l'únic candidat és l'òptim global.

Camí ràpid: parametritzar. Amb $x = 11\cos t$ i $y = 2\sin t$, el producte val

$xy = 22\sin t\cos t = \frac{22}{2}\sin(2t)$

i el seu màxim és $11$, assolit quan $\sin(2t) = 1$.

Camí amb Lagrange. Les equacions donen $x^{2}/121 = y^{2}/4$, o sigui que cada terme de la restricció val $1/2$. D'aquí $x = 11/\sqrt2$ i $y = 2/\sqrt2$, i el producte és $11$.

Existència garantida. L'el·lipse és compacta i la funció és contínua, de manera que per Weierstrass hi ha màxim i mínim. El mínim val $-11$, per simetria.

$\max = 11$

Amb Lagrange. Les equacions $2x = 3\lambda$ i $2y = 3\lambda$ diuen que el punt òptim és proporcional a $(3,3)$, és a dir que està sobre la perpendicular a la recta per l'origen. Imposant la restricció surt

$(x,y) = \frac{9}{18}(3,3),\qquad x^{2}+y^{2} = \frac{9^{2}}{18} = \frac{9}{2} \approx 4.5000$

Interpretació geomètrica. El resultat és el quadrat de la distància de l'origen a la recta, i la fórmula coincideix amb la distància punt-recta que ja coneixes.

Globalitat. El conjunt factible no és compacte, però la funció és coerciva sobre la recta (creix sense límit en allunyar-se), de manera que el mínim existeix i l'únic candidat és l'òptim global.

Camí ràpid: parametritzar. Amb $x = 10\cos t$ i $y = 3\sin t$, el producte val

$xy = 30\sin t\cos t = \frac{30}{2}\sin(2t)$

i el seu màxim és $15$, assolit quan $\sin(2t) = 1$.

Camí amb Lagrange. Les equacions donen $x^{2}/100 = y^{2}/9$, o sigui que cada terme de la restricció val $1/2$. D'aquí $x = 10/\sqrt2$ i $y = 3/\sqrt2$, i el producte és $15$.

Existència garantida. L'el·lipse és compacta i la funció és contínua, de manera que per Weierstrass hi ha màxim i mínim. El mínim val $-15$, per simetria.

$\max = 15$