Interès simple i compost: comparar ofertes amb les mateixes condicions

Aquest tema és l'aplicació directa dels canvis percentuals, i és el primer en què les matemàtiques de l'ESO serveixen per prendre una decisió de debò. També és el tema on cal més cura amb el que s'afirma: tot el que calcularem són models, amb supòsits que a la realitat s'han de comprovar.

El que has de dominar abans: canvis percentuals i potències.

Interès simple

A l'interès simple, cada període genera interessos sempre sobre el capital inicial. Els interessos no es reinverteixen.

$$C_n = C_0\,(1 + n\,i),$$

on $C_0$ és el capital inicial, $i$ és la taxa per període en forma decimal i $n$ és el nombre de períodes.

Com que cada període aporta sempre la mateixa quantitat, el creixement és lineal: la gràfica és una recta.

Interès compost

A l'interès compost, els interessos s'afegeixen al capital i també generen interessos als períodes següents.

$$C_n = C_0\,(1 + i)^{n}.$$

Aquí es veu la connexió amb el tema anterior: $(1+i)$ és exactament el factor multiplicatiu d'un augment percentual, i aplicar-lo $n$ vegades és elevar-lo a $n$. La fórmula no és nova: és el factor del tema cinc, repetit.

El creixement és exponencial, i la diferència amb el simple és petita els primers períodes i cada vegada més gran a mesura que passa el temps.

La taxa i el període han de ser compatibles

Aquest és el detall tècnic que més fa fallar els càlculs. Si la taxa és anual, $n$ s'ha de comptar en anys. Si el contracte capitalitza mensualment, cal fer servir la taxa mensual i comptar els mesos.

I una precisió que convé tenir clara: una taxa anual del $12\,\%$ capitalitzada mensualment no és un $1\,\%$ mensual que doni un $12\,\%$ a final d'any, perquè $1{,}01^{12} = 1{,}1268$, és a dir un $12{,}68\,\%$. Per això als productes financers es publica una taxa equivalent anual, que serveix precisament per poder comparar.

Comparar ofertes

Per comparar dues ofertes amb criteri, cal igualar les condicions:

• el mateix horitzó temporal;
• el mateix capital inicial;
• incloure-hi les comissions i despeses que l'enunciat especifiqui.

I una advertència honesta: tot el que farem aquí són models ideals amb taxa fixa, sense impostos ni comissions tret que s'indiquin. A la realitat hi ha retencions fiscals, comissions de manteniment i taxes variables, i el resultat d'un càlcul com aquests és una estimació, no una xifra garantida. Aquesta pàgina explica matemàtiques, no dona consells financers.

Exercici resolt: interès simple a tres anys

Calcula el capital final de $500$ euros al $4\,\%$ simple anual durant $3$ anys.

Identifica les dades. $C_0 = 500$, $i = 0{,}04$, $n = 3$.

Aplica la fórmula.

$$C_3 = 500\,(1 + 3 \cdot 0{,}04) = 500 \cdot 1{,}12 = 560 \ \text{euros}.$$

Comprovació any per any. Cada any aporta el $4\,\%$ de $500$, és a dir $20$ euros. Tres anys són $60$ euros d'interessos:

$$500 + 60 = 560 \quad\checkmark$$

Comprovació de sentit. Un $4\,\%$ durant tres anys ha de ser una mica més del $10\,\%$ del capital, i $60$ euros sobre $500$ són el $12\,\%$. Encaixa.

Resposta: $560$ euros, dels quals $60$ són interessos.

Exercici resolt: el mateix cas amb interès compost

Calcula el capital final de $500$ euros al $4\,\%$ compost anual durant $3$ anys.

Aplica la fórmula del compost.

$$C_3 = 500 \cdot 1{,}04^{3}.$$

Calcula la potència.

$$1{,}04^{3} = 1{,}04 \cdot 1{,}04 \cdot 1{,}04 = 1{,}124864.$$$$C_3 = 500 \cdot 1{,}124864 = 562{,}43 \ \text{euros}.$$

Comprovació any per any.

$$500 \to 520 \to 540{,}80 \to 562{,}43 \quad\checkmark$$

Fixa't que els interessos de cada any creixen: $20$, després $20{,}80$, després $21{,}63$. Al simple serien $20$ sempre.

Comparació amb el simple. El compost dona $562{,}43$ i el simple $560$: una diferència de $2{,}43$ euros en tres anys.

Sobre l'arrodoniment. El resultat exacte és $562{,}432$, i com que parlem de diners s'ha d'arrodonir a cèntims: $562{,}43$. Aquí convé recordar la regla del tema d'aproximacions: arrodoneix només al final. Si haguessis arrodonit el capital a cèntims cada any, el resultat podria sortir un cèntim diferent.

La idea que resumeix els dos exercicis. Amb pocs períodes, simple i compost s'assemblen molt. La diferència no la fa el tipus d'interès sinó el nombre de períodes, perquè l'un creix de manera lineal i l'altre de manera exponencial.

On ho faràs servir

Això és el que hi ha darrere de qualsevol hipoteca, préstec, dipòsit, pla de pensions o targeta de crèdit. També de l'efecte de la inflació sobre els estalvis, que és el mateix càlcul amb el factor per sota d'u.

A batxillerat, la fórmula del compost reapareixerà com a cas particular de la funció exponencial, i al bloc de funcions d'aquest mateix curs la veuràs representada: una corba que puja suaument al principi i cada vegada més de pressa.

I una idea per emportar-se, que no és matemàtica però surt de les matemàtiques: en l'interès compost, el factor que més pesa en el resultat final no és el tipus d'interès, és el temps. És la raó per la qual qualsevol explicació sobre estalvi comença dient que convé començar aviat.