Magnituds i conversions: per què les àrees no es converteixen com les longituds

⏱ 5 min de lecturaESO

Vols practicar? Aquest tema té 102 exercicis interactius de 4 tipus, de deu en deu, amb correcció immediata i explicació pas a pas.

Canviar d'unitat no canvia l'objecte: canvia el número amb què l'expressem. Una taula de dos metres i de dos-cents centímetres és la mateixa taula. El que fa fallar aquest tema no és aquesta idea sinó el factor que toca a cada cas, i sobretot el d'àrees i volums.

El que has de dominar abans: potències de deu i proporcionalitat.

Una mesura té número i unitat

Dir «el dipòsit fa $75$ » no vol dir res. Les unitats no són un adorn: formen part del valor, i escriure-les a cada pas és el que permet comprovar un càlcul.

Longitud en metres, superfície en metres quadrats, volum en metres cúbics. Les tres mesuren coses de naturalesa diferent i no es poden comparar entre elles.

Els factors segons la dimensió

Com que $1$ m $= 100$ cm:

1 \ \text{m}^{2} = 100^{2} = 10\,000 \ \text{cm}^{2},

1 \ \text{m}^{3} = 100^{3} = 1\,000\,000 \ \text{cm}^{3}.

Entre unitats mètriques consecutives (de m a dm, de dm a cm...), els factors són:

Magnitud	Factor entre unitats consecutives
Longitud	$10$
Superfície	$100$
Volum	$1\,000$

El motiu és el mateix que a les escales: una àrea és un producte de dues longituds i un volum de tres, de manera que el factor s'eleva al quadrat o al cub.

Capacitat i volum

1 \ \text{dm}^{3} = 1 \ \text{L}, \qquad 1 \ \text{cm}^{3} = 1 \ \text{mL}, \qquad 1 \ \text{m}^{3} = 1\,000 \ \text{L}.

Aquestes tres igualtats connecten el món dels volums geomètrics amb el de les capacitats, i convé tenir-les memoritzades perquè apareixen a tots els problemes de dipòsits.

El temps i els graus van de seixanta en seixanta

Una hora té $60$ minuts i un minut $60$ segons. Un grau angular té $60$ minuts d'arc.

Per passar a decimal, es divideix la part petita pel factor:

1 \ \text{h} \ 24 \ \text{min} = 1 + \frac{24}{60} = 1{,}4 \ \text{h}.

I a l'inrevés, la part decimal es multiplica per $60$ . Aquest doble sentit és on es produeixen els errors, perquè la notació de rellotge i la decimal s'assemblen molt i no volen dir el mateix.

No converteixis àrees amb el factor de les longituds

2 \ \text{m}^{2} \neq 200 \ \text{cm}^{2}.

El valor correcte és $2 \cdot 10\,000 = 20\,000$ cm². L'error dona un resultat cent vegades més petit del real, i passa desapercebut perquè el número continua semblant raonable.

La manera d'evitar-ho sense memoritzar res: reescriu la conversió com un quadrat o un cub.

1 \ \text{m}^{2} = (1 \ \text{m})^{2} = (100 \ \text{cm})^{2} = 10\,000 \ \text{cm}^{2}.

Escrita així, el factor surt sol i no te l'has de recordar. Amb els volums, el mateix amb exponent tres.

Un dipòsit i una durada

Un dipòsit té $0{,}075$ m³. Quants litres són? I quant és $1$ h $24$ min en hores decimals?

El volum. Com que $1$ m³ $= 1\,000$ L:

0{,}075 \cdot 1\,000 = 75 \ \text{L}.

Comprovació per un altre camí. $0{,}075$ m³ són $75\,000$ cm³ (multiplicant per un milió), i com que $1$ cm³ $= 1$ mL, són $75\,000$ mL $= 75$ L ✓ Els dos camins coincideixen.

La durada.

1 \ \text{h} \ 24 \ \text{min} = 1 + \frac{24}{60} = 1 + 0{,}4 = 1{,}4 \ \text{h}.

El contrast que convé veure. $1{,}24$ h no és $1$ h $24$ min. Convertint:

0{,}24 \cdot 60 = 14{,}4 \ \text{min} = 14 \ \text{min } 24 \ \text{s},

de manera que $1{,}24$ h és $1$ h $14$ min $24$ s. Confondre les dues notacions és un error que apareix constantment als problemes de velocitat, i la diferència (deu minuts) no és menor.

Detectar un factor equivocat per estimació

Un alumne afirma que una capsa de $20 \times 30 \times 40$ cm té $24$ m³. Calcula el volum correcte de dues maneres i digues on està l'error.

Primer camí: calcula en cm³ i converteix al final.

20 \cdot 30 \cdot 40 = 24\,000 \ \text{cm}^{3}.

I com que $1$ m³ $= 1\,000\,000$ cm³:

24\,000 : 1\,000\,000 = 0{,}024 \ \text{m}^{3}.

Segon camí: converteix primer i calcula després.

20 \ \text{cm} = 0{,}2 \ \text{m}, \quad 30 \ \text{cm} = 0{,}3 \ \text{m}, \quad 40 \ \text{cm} = 0{,}4 \ \text{m},

0{,}2 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}4 = 0{,}024 \ \text{m}^{3} \quad\checkmark

Els dos camins donen $0{,}024$ m³.

On està l'error de l'alumne. Ha calculat $24\,000$ cm³ correctament i després ha dividit per $1\,000$ en comptes de per $1\,000\,000$ : ha aplicat el factor dels litres o el de les longituds en comptes del dels volums. El resultat surt mil vegades massa gran.

L'estimació que ho hauria detectat de seguida. Un metre cúbic és un cub d'un metre de costat, i hi caben moltes capses com aquesta. Afirmar que una capsa de mig braç de llarg té $24$ m³ és dir que té el volum d'una habitació petita: impossible.

I de passada, en litres. $24\,000$ cm³ són $24\,000$ mL, és a dir $24$ litres. Probablement d'aquí ve la confusió: el número $24$ és correcte, però l'unitat és el litre, no el metre cúbic.

Estima la mida abans de convertir

Abans d'aplicar cap factor, fes-te una idea de quin número has d'esperar. Si passes de metres a centímetres, el número ha de créixer (els centímetres són més petits, de manera que en calen més). Si passes de cm² a m², ha de minvar molt.

Aquesta comprovació de sentit agafa pràcticament tots els errors de factor, inclosos els de direcció (multiplicar quan toca dividir), que són els més freqüents.

Exercici resolt: metres quadrats a centímetres quadrats

Converteix $3{,}5$ m² a cm².

Troba el factor escrivint-lo com un quadrat.

1 \ \text{m}^{2} = (100 \ \text{cm})^{2} = 10\,000 \ \text{cm}^{2}.

Multiplica.

3{,}5 \cdot 10\,000 = 35\,000 \ \text{cm}^{2}.

Comprovació de sentit. Passem a una unitat més petita, de manera que el número ha de créixer molt ✓

Comprovació per un cas concret. Si els $3{,}5$ m² fossin un rectangle de $3{,}5 \times 1$ m, en centímetres seria $350 \times 100$ cm, i l'àrea $350 \cdot 100 = 35\,000$ cm² ✓

L'error que s'evita. Multiplicar per $100$ i donar $350$ cm². El resultat seria l'àrea d'un quadrat d'uns $19$ cm de costat, que no té res a veure amb $3{,}5$ metres quadrats.

Exercici resolt: centímetres cúbics a litres i hores decimals

Converteix $2\,500$ cm³ a litres, i $2$ h $18$ min a hores decimals.

El volum. Com que $1$ cm³ $= 1$ mL:

2\,500 \ \text{cm}^{3} = 2\,500 \ \text{mL} = 2{,}5 \ \text{L}.

Comprovació pel camí dels decímetres. $1$ L $= 1$ dm³ $= 1\,000$ cm³, de manera que $2\,500 : 1\,000 = 2{,}5$ L ✓

El temps.

2 \ \text{h} \ 18 \ \text{min} = 2 + \frac{18}{60} = 2 + 0{,}3 = 2{,}3 \ \text{h}.

Comprovació a la inversa. $0{,}3 \cdot 60 = 18$ min ✓

Per què aquesta conversió és imprescindible. Si has de calcular una velocitat en km/h, el temps ha d'estar en hores decimals. Dividir una distància per « $2$ h $18$ min» tal com està escrit no és una operació que es pugui fer: cal passar-ho a $2{,}3$ primer.

I un avís sobre l'escriptura. Posar $2{,}18$ h és incorrecte i és l'error més habitual: $2{,}18$ h seria $2$ h $10$ min $48$ s. Els minuts es divideixen per $60$ , no es posen després de la coma.

On ho faràs servir

Les conversions apareixen a tots els problemes de geometria d'aquest bloc: si les dades venen en unitats diferents, el primer pas és unificar-les, i el factor correcte depèn de si parles de longituds, àrees o volums.

A física són encara més crítiques, perquè les fórmules exigeixen unitats coherents: una densitat en kg/m³ no es pot combinar amb un volum en litres sense convertir.

I el factor quadrat i cúbic reapareixerà al tema de semblança amb demostració, i al bloc de proporcionalitat ja l'has vist amb les escales. És la mateixa idea en tres contextos diferents, i és de les que val la pena entendre una sola vegada bé.

Ara prova-ho tu. 102 exercicis d'aquest tema, de 4 tipus diferents, per resoldre en línia, de deu en deu: escrius la resposta, te la corregeix a l'instant i, si falles, t'explica com es fa pas a pas. Quan acabis una tanda, en tens deu més, amb dades noves.

Fer els exercicis Simulacre d'examen