Anàlisi de Fourier, fasors i resposta en freqüència

L'anàlisi de Fourier és el lloc on els nombres complexos deixen de ser un exercici d'àlgebra i es converteixen en l'eina de treball de mig grau d'enginyeria. La idea és una sola: qualsevol senyal raonable es pot escriure com una superposició d'oscil·lacions pures, i els sistemes lineals tracten cada oscil·lació per separat. Això converteix derivades i convolucions, que són operacions difícils, en multiplicacions, que no ho són. Aquesta pàgina recull tot el camí, des de la sèrie en un interval fins a la transformada discreta i l'aliasing.

Ortogonalitat: per què surten aquestes fórmules

Sobre funcions de quadrat integrable en un interval de longitud $2\pi$, defineix el producte escalar complex

$$\langle f, g\rangle = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,\overline{g(x)}\,dx.$$

Les funcions $e^{inx}$ amb $n$ enter són ortonormals amb aquest producte: la integral de $e^{i(n-m)x}$ val zero si els índexs difereixen i val $2\pi$ si coincideixen. Un cop tens una família ortonormal, els coeficients d'un desenvolupament no són cap misteri: són projeccions, exactament igual que en un espai vectorial de dimensió finita. D'aquí

$$c_n = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,e^{-inx}\,dx.$$

La versió real equivalent s'escriu amb sinus i cosinus,

$$f(x)\ \sim\ \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\big(a_n\cos nx + b_n \sin nx\big), \qquad a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f\cos nx\,dx, \quad b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f\sin nx\,dx.$$

El símbol d'associació no és una igualtat: només diu que aquests són els coeficients que li pertoquen. Si la sèrie hi convergeix, i en quin sentit, és una pregunta a part. Per a funcions reals es compleix que els coeficients complexos d'índexs oposats són conjugats, i hi ha dues simplificacions que estalvien molta feina: si la funció és parella tots els coeficients de sinus s'anul·len, i si és senar s'anul·len tots els de cosinus. Mirar la paritat abans d'integrar és el primer que s'ha de fer sempre.

Convergència i energia

Les exponencials no només són ortonormals sinó completes, i per això les sumes parcials simètriques convergeixen a la funció en norma quadràtica. D'aquí surt la identitat de Parseval,

$$\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|f|^{2}\,dx = \sum_{n\in\mathbb{Z}}|c_n|^{2},$$

que es llegeix com una conservació de l'energia: l'energia del senyal és la suma de les energies dels seus harmònics. La completesa és un teorema d'anàlisi funcional i no es dedueix de l'ortogonalitat sola; una família ortonormal pot ser perfectament ortonormal i insuficient.

Sobre convergència puntual, el criteri pràctic és el de Dirichlet: si l'extensió periòdica és de classe $C^1$ a trossos amb un nombre finit de discontinuïtats, la sèrie convergeix en cada punt al valor mitjà dels dos límits laterals. Als punts de continuïtat, això és simplement el valor de la funció. Prop d'un salt apareix el fenomen de Gibbs: per més termes que afegeixis, el sobrepassament relatiu no baixa d'aproximadament un nou per cent; l'únic que passa és que la zona afectada s'estreny. Convergència en energia, puntual i uniforme són tres afirmacions diferents i no s'han de barrejar.

Període general i transformada contínua

Amb període $T$, la freqüència angular fonamental és $\omega_0 = 2\pi/T$ i els coeficients es calculen sobre qualsevol interval d'una longitud de període. Vigila les unitats: la freqüència ordinària en hertzs i l'angular en radians per segon es relacionen per un factor $2\pi$, i barrejar-les és la font número u d'errors en problemes de senyals.

Quan el període es fa infinit, la suma discreta de modes es converteix en una integral. Amb la convenció angular,

$$\widehat{f}(\omega) = \int_{\mathbb{R}} f(t)e^{-i\omega t}\,dt, \qquad f(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}} \widehat{f}(\omega)e^{i\omega t}\,d\omega.$$

Hi ha diverses convencions en circulació, amb el $2\pi$ repartit de maneres diferents; declarar quina fas servir no és pedanteria, és el que fa que els teus factors quadrin amb els d'una taula. Les tres propietats que es fan servir contínuament són que derivar equival a multiplicar per $i\omega$, que desplaçar en el temps equival a multiplicar per una exponencial de fase, i que convolucionar equival a multiplicar. La regla de la derivada surt d'integrar per parts quan el terme de frontera s'anul·la, i per tant no val per a una funció qualsevol.

Fasors, impedàncies i resposta en freqüència

Un senyal sinusoidal real $x(t) = A\cos(\omega t + \phi)$ es representa amb el fasor complex $\widetilde{X} = Ae^{i\phi}$, entenent que el senyal és la part real de $\widetilde{X}e^{i\omega t}$. En règim sinusoidal estacionari, derivar equival a multiplicar el fasor per $i\omega$, i amb això una equació diferencial es converteix en una equació algebraica amb nombres complexos.

D'aquí surten les impedàncies: $Z_R = R$, $Z_L = i\omega L$ i $Z_C = 1/(i\omega C)$. En un RLC sèrie,

$$\widetilde{I} = \frac{\widetilde{V}}{R + i\left(\omega L - \dfrac{1}{\omega C}\right)}.$$

El mòdul dona l'amplitud del corrent i l'argument dona el desfasament respecte de la tensió. Per calcular aquest argument fes servir la funció de dos arguments, no l'arctangent del quocient, perquè aquesta perd el quadrant.

Per a un sistema lineal i invariant amb resposta impulsional $h$, la sortida és la convolució de l'entrada amb $h$, i per tant en freqüència la sortida és el producte de l'entrada per $H = \widehat{h}$. Per a l'oscil·lador forçat $mx'' + cx' + kx = F_0\cos\omega t$, el fasor de la resposta estacionària és

$$\widetilde{X} = \frac{F_0}{k - m\omega^{2} + ic\omega}, \qquad |\widetilde{X}| = \frac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^{2})^{2} + c^{2}\omega^{2}}}.$$

Amb amortiment positiu, la solució completa inclou a més un transitori que decau i acaba desapareixent. Sense amortiment i amb la freqüència d'excitació igual a l'arrel de $k/m$, el denominador s'anul·la: no hi ha cap resposta sinusoidal estacionària d'amplitud finita, i el que apareix és un terme que creix amb el temps. És la ressonància, vista ara des de la freqüència.

DFT, FFT i aliasing

Amb $N$ mostres, la transformada discreta és

$$X_k = \sum_{j=0}^{N-1} x_j e^{-2\pi i jk/N}, \qquad x_j = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} X_k e^{2\pi i jk/N}.$$

La fórmula d'inversió surt de l'ortogonalitat de les arrels $N$-èsimes de la unitat, que és el mateix argument de sempre en versió finita. Dos aclariments que cal tenir molt clars: la FFT no és una transformada diferent, sinó un algorisme per calcular la DFT reduint el cost d'ordre $N^{2}$ a ordre $N\log N$; i el factor $1/N$ va a la inversa en aquesta convenció, però hi ha programari que el reparteix d'una altra manera.

El mostreig no pot distingir dues freqüències que difereixin en un múltiple de la freqüència de mostreig: això és l'aliasing. El teorema de mostreig diu que un senyal limitat en banda es pot reconstruir exactament si mostreges per sobre del doble de la seva freqüència màxima. La conseqüència pràctica és que el filtre antialiàsing s'ha de posar abans de mostrejar: un cop les components falses són dins les mostres, cap processament posterior no les pot separar de les vertaderes.

Exercici resolt: una DFT a mà

Calcula la DFT de la seqüència $(1, 0, -1, 0)$.

Amb $N = 4$, només els termes $j = 0$ i $j = 2$ són no nuls, de manera que

$$X_k = 1 - e^{-2\pi i\cdot 2k/4} = 1 - e^{-\pi i k} = 1 - (-1)^{k}.$$

Per tant la transformada és $(0, 2, 0, 2)$. Té sentit: la seqüència alterna amb període dos, que és justament la freqüència més alta representable amb quatre mostres, i tota l'energia hi va a parar. La simetria que presenta el resultat és la que correspon a una seqüència d'entrada real.

Exercici resolt: resposta estacionària amb fasors

Troba la resposta estacionària de $x' + 2x = 3\cos t$.

Passa a fasors amb $\omega = 1$: l'equació es converteix en $(i + 2)\widetilde{X} = 3$, d'on

$$\widetilde{X} = \frac{3}{2+i} = \frac{3(2-i)}{5} = \frac{6}{5} - \frac{3}{5}i.$$

El senyal és la part real de $\widetilde{X}e^{it}$, és a dir

$$x_p(t) = \frac{6}{5}\cos t + \frac{3}{5}\sin t.$$

L'amplitud és el mòdul, $3/\sqrt{5}$, i el desfasament és l'argument del fasor, negatiu: la resposta va endarrerida respecte de l'excitació. La solució completa hi afegeix el transitori $Ce^{-2t}$, que desapareix i per això no surt al càlcul en freqüència.

Aquesta maquinària és la que hi ha darrere de la separació de variables a les equacions en derivades parcials: els modes espacials que hi apareixen són exactament els harmònics d'aquesta pàgina.