Exercicis de nombres complexos: representació i operacions
Biblioteca de 104 exercicis de 3 tipus diferents, de 10 en 10: els del mateix tipus canvien les dades. Escriu la resposta, comprova-la i, si falla, mira les pistes abans de rendir-te.
Siguin z1=−1−3i i z2=4−i. Quina és la part real de z1⋅z2?
Escriu només el número. Si no és enter, posa tres o quatre decimals.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
Multiplica com dos binomis, i al final recorda que i2=−1.
Pista 2.
(−1−3i)(4−i): fes els quatre productes i agrupa.
Com es fa
Es multiplica com qualsevol parell de binomis, amb la particularitat que i2=−1.
(−1−3i)(4−i)=−4+i−12i+3i2
Ara substituïm i2=−1, i aquell últim terme deixa de ser imaginari:
3i2=3⋅(−1)=−3
Agrupant les parts reals i les imaginàries:
z1⋅z2=−7−11i
La part real és −7.
Compte amb això.
Oblidar-se que i2=−1 i deixar el terme com si fos imaginari. Aquell terme passa a ser real i canvia de signe.
Exercici 2
Calcula el mòdul de z=−1−3i.
Escriu només el número. Si no és enter, posa tres o quatre decimals.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
El mòdul és la distància de l'origen al punt (a,b) del pla complex.
Pista 2.
∣z∣=a2+b2=(−1)2+(−3)2.
Com es fa
Un nombre complex es pot veure com el punt (−1,−3) del pla. El mòdul és la seva distància a l'origen, o sigui Pitàgores:
∣z∣=a2+b2=(−1)2+(−3)2=1+9=10≈3.1623
Com que hi ha quadrats, els signes no importen: el mòdul mai no és negatiu.
Compte amb això.
Sumar a+b sense elevar al quadrat, o oblidar-se de l'arrel final.
Exercici 3
Calcula l'argument de z=3+2i, en graus, entre −180° i 180°.
Escriu només el número. Si no és enter, posa tres o quatre decimals.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
L'argument és l'angle que forma el vector (a,b) amb l'eix real positiu.
Pista 2.
Fes servir l'arctangent de ab, però mira en quin quadrant ets abans de donar la resposta.
Com es fa
L'argument és l'angle del vector (3,2) respecte de l'eix real positiu.
La calculadora fa arctan(32)=33.69∘, però l'arctangent no distingeix quadrants: dona el mateix per a z i per a −z. Per això sempre s'ha de mirar on cau el punt.
Aquí a=3 i b=2, o sigui primer quadrant, i l'argument correcte és:
arg(z)≈33.69∘
Consell: dibuixa el punt en uns eixos abans de respondre. Amb un esbós de tres segons no t'equivoques mai de quadrant.
Compte amb això.
Donar directament el que surt de l'arctangent sense mirar el quadrant. És l'error més comú de tot el tema.
Exercici 4
Siguin z1=3−2i i z2=−4+3i. Quina és la part imaginària de z1⋅z2?
Escriu només el número. Si no és enter, posa tres o quatre decimals.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
Multiplica com dos binomis, i al final recorda que i2=−1.
Pista 2.
(3−2i)(−4+3i): fes els quatre productes i agrupa.
Com es fa
Es multiplica com qualsevol parell de binomis, amb la particularitat que i2=−1.
(3−2i)(−4+3i)=−12+9i+8i−6i2
Ara substituïm i2=−1, i aquell últim terme deixa de ser imaginari:
−6i2=−6⋅(−1)=6
Agrupant les parts reals i les imaginàries:
z1⋅z2=−6+17i
La part imaginària és 17.
Compte amb això.
Oblidar-se que i2=−1 i deixar el terme com si fos imaginari. Aquell terme passa a ser real i canvia de signe.
Exercici 5
Calcula el mòdul de z=3−2i.
Escriu només el número. Si no és enter, posa tres o quatre decimals.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
El mòdul és la distància de l'origen al punt (a,b) del pla complex.
Pista 2.
∣z∣=a2+b2=(3)2+(−2)2.
Com es fa
Un nombre complex es pot veure com el punt (3,−2) del pla. El mòdul és la seva distància a l'origen, o sigui Pitàgores:
∣z∣=a2+b2=(3)2+(−2)2=9+4=13≈3.6056
Com que hi ha quadrats, els signes no importen: el mòdul mai no és negatiu.
Compte amb això.
Sumar a+b sense elevar al quadrat, o oblidar-se de l'arrel final.
Exercici 6
Calcula l'argument de z=−1+4i, en graus, entre −180° i 180°.
Escriu només el número. Si no és enter, posa tres o quatre decimals.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
L'argument és l'angle que forma el vector (a,b) amb l'eix real positiu.
Pista 2.
Fes servir l'arctangent de ab, però mira en quin quadrant ets abans de donar la resposta.
Com es fa
L'argument és l'angle del vector (−1,4) respecte de l'eix real positiu.
La calculadora fa arctan(−14)=−75.96∘, però l'arctangent no distingeix quadrants: dona el mateix per a z i per a −z. Per això sempre s'ha de mirar on cau el punt.
Aquí a=−1 i b=4, o sigui segon quadrant, i l'argument correcte és:
arg(z)≈104.04∘
Consell: dibuixa el punt en uns eixos abans de respondre. Amb un esbós de tres segons no t'equivoques mai de quadrant.
Compte amb això.
Donar directament el que surt de l'arctangent sense mirar el quadrant. És l'error més comú de tot el tema.
Exercici 7
Siguin z1=−2+3i i z2=1−3i. Quina és la part real de z1⋅z2?
Escriu només el número. Si no és enter, posa tres o quatre decimals.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
Multiplica com dos binomis, i al final recorda que i2=−1.
Pista 2.
(−2+3i)(1−3i): fes els quatre productes i agrupa.
Com es fa
Es multiplica com qualsevol parell de binomis, amb la particularitat que i2=−1.
(−2+3i)(1−3i)=−2+6i+3i−9i2
Ara substituïm i2=−1, i aquell últim terme deixa de ser imaginari:
−9i2=−9⋅(−1)=9
Agrupant les parts reals i les imaginàries:
z1⋅z2=7+9i
La part real és 7.
Compte amb això.
Oblidar-se que i2=−1 i deixar el terme com si fos imaginari. Aquell terme passa a ser real i canvia de signe.
Exercici 8
Calcula el mòdul de z=−2+3i.
Escriu només el número. Si no és enter, posa tres o quatre decimals.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
El mòdul és la distància de l'origen al punt (a,b) del pla complex.
Pista 2.
∣z∣=a2+b2=(−2)2+(3)2.
Com es fa
Un nombre complex es pot veure com el punt (−2,3) del pla. El mòdul és la seva distància a l'origen, o sigui Pitàgores:
∣z∣=a2+b2=(−2)2+(3)2=4+9=13≈3.6056
Com que hi ha quadrats, els signes no importen: el mòdul mai no és negatiu.
Compte amb això.
Sumar a+b sense elevar al quadrat, o oblidar-se de l'arrel final.
Exercici 9
Calcula l'argument de z=3+i, en graus, entre −180° i 180°.
Escriu només el número. Si no és enter, posa tres o quatre decimals.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
L'argument és l'angle que forma el vector (a,b) amb l'eix real positiu.
Pista 2.
Fes servir l'arctangent de ab, però mira en quin quadrant ets abans de donar la resposta.
Com es fa
L'argument és l'angle del vector (3,1) respecte de l'eix real positiu.
La calculadora fa arctan(31)=18.43∘, però l'arctangent no distingeix quadrants: dona el mateix per a z i per a −z. Per això sempre s'ha de mirar on cau el punt.
Aquí a=3 i b=1, o sigui primer quadrant, i l'argument correcte és:
arg(z)≈18.43∘
Consell: dibuixa el punt en uns eixos abans de respondre. Amb un esbós de tres segons no t'equivoques mai de quadrant.
Compte amb això.
Donar directament el que surt de l'arctangent sense mirar el quadrant. És l'error més comú de tot el tema.
Exercici 10
Siguin z1=2+3i i z2=−2−3i. Quina és la part imaginària de z1⋅z2?
Escriu només el número. Si no és enter, posa tres o quatre decimals.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
Multiplica com dos binomis, i al final recorda que i2=−1.
Pista 2.
(2+3i)(−2−3i): fes els quatre productes i agrupa.
Com es fa
Es multiplica com qualsevol parell de binomis, amb la particularitat que i2=−1.
(2+3i)(−2−3i)=−4−6i−6i−9i2
Ara substituïm i2=−1, i aquell últim terme deixa de ser imaginari:
−9i2=−9⋅(−1)=9
Agrupant les parts reals i les imaginàries:
z1⋅z2=5−12i
La part imaginària és −12.
Compte amb això.
Oblidar-se que i2=−1 i deixar el terme com si fos imaginari. Aquell terme passa a ser real i canvia de signe.
Com escriure les respostes. A les integrals pots posar-hi la constant (+ C) o deixar-la: es dona per bona igual. Fes servir ^ per als exponents (x^2), * o res per multiplicar (3x i 3*x valen igual), / per dividir i sqrt( ) per a les arrels. Les funcions s'escriuensin(x), cos(x), ln(x), e^x. No cal que simplifiquis: qualsevol forma equivalent es dona per bona.
Has fallat algun exercici.Repassa'ls abans de continuar: el que has de repetir és justament el que no et surt.
Galetes
Fem servir galetes tècniques (necessàries perquè el lloc funcioni) i, si ens hi dones permís, galetes d'analítica i de publicitat que ens ajuden a mantenir els apunts gratuïts. Pots acceptar-les, rebutjar-les o triar-les una per una. Detall a la política de galetes.