Exercicis de nombres complexos: representació i operacions

Un nombre complex es pot veure com el punt $(2, 3)$ del pla. El mòdul és la seva distància a l'origen, o sigui Pitàgores:

$|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(2)^2 + (3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \approx 3.6056$

Com que hi ha quadrats, els signes no importen: el mòdul mai no és negatiu.

L'argument és l'angle del vector $(2, 1)$ respecte de l'eix real positiu.

La calculadora fa $\arctan\left(\frac{1}{2}\right) = 26.57^\circ$, però l'arctangent no distingeix quadrants: dona el mateix per a $z$ i per a $-z$. Per això sempre s'ha de mirar on cau el punt.

Aquí $a = 2$ i $b = 1$, o sigui primer quadrant, i l'argument correcte és:

$\arg(z) \approx 26.57^\circ$

Consell: dibuixa el punt en uns eixos abans de respondre. Amb un esbós de tres segons no t'equivoques mai de quadrant.

Es multiplica com qualsevol parell de binomis, amb la particularitat que $i^2 = -1$.

$(-1 + 2i)(2 - 4i) = -2 + 4i + 4i - 8i^2$

Ara substituïm $i^2 = -1$, i aquell últim terme deixa de ser imaginari:

$-8i^2 = -8 \cdot (-1) = 8$

Agrupant les parts reals i les imaginàries:

$z_1 \cdot z_2 = 6 + 8 i$

La part real és $6$.

Un nombre complex es pot veure com el punt $(-1, 2)$ del pla. El mòdul és la seva distància a l'origen, o sigui Pitàgores:

$|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(-1)^2 + (2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \approx 2.2361$

Com que hi ha quadrats, els signes no importen: el mòdul mai no és negatiu.

L'argument és l'angle del vector $(-1, -1)$ respecte de l'eix real positiu.

La calculadora fa $\arctan\left(\frac{-1}{-1}\right) = 45.00^\circ$, però l'arctangent no distingeix quadrants: dona el mateix per a $z$ i per a $-z$. Per això sempre s'ha de mirar on cau el punt.

Aquí $a = -1$ i $b = -1$, o sigui tercer quadrant, i l'argument correcte és:

$\arg(z) = -135^\circ$

Consell: dibuixa el punt en uns eixos abans de respondre. Amb un esbós de tres segons no t'equivoques mai de quadrant.

Es multiplica com qualsevol parell de binomis, amb la particularitat que $i^2 = -1$.

$(-4 - i)(3 - 4i) = -12 + 16i - 3i + 4i^2$

Ara substituïm $i^2 = -1$, i aquell últim terme deixa de ser imaginari:

$4i^2 = 4 \cdot (-1) = -4$

Agrupant les parts reals i les imaginàries:

$z_1 \cdot z_2 = -16 + 13 i$

La part imaginària és $13$.

Un nombre complex es pot veure com el punt $(-4, -1)$ del pla. El mòdul és la seva distància a l'origen, o sigui Pitàgores:

$|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17} \approx 4.1231$

Com que hi ha quadrats, els signes no importen: el mòdul mai no és negatiu.

L'argument és l'angle del vector $(-2, 4)$ respecte de l'eix real positiu.

La calculadora fa $\arctan\left(\frac{4}{-2}\right) = -63.43^\circ$, però l'arctangent no distingeix quadrants: dona el mateix per a $z$ i per a $-z$. Per això sempre s'ha de mirar on cau el punt.

Aquí $a = -2$ i $b = 4$, o sigui segon quadrant, i l'argument correcte és:

$\arg(z) \approx 116.57^\circ$

Consell: dibuixa el punt en uns eixos abans de respondre. Amb un esbós de tres segons no t'equivoques mai de quadrant.

Es multiplica com qualsevol parell de binomis, amb la particularitat que $i^2 = -1$.

$(4 + 3i)(1 + i) = 4 + 4i + 3i + 3i^2$

Ara substituïm $i^2 = -1$, i aquell últim terme deixa de ser imaginari:

$3i^2 = 3 \cdot (-1) = -3$

Agrupant les parts reals i les imaginàries:

$z_1 \cdot z_2 = 1 + 7 i$

La part real és $1$.

Un nombre complex es pot veure com el punt $(4, 3)$ del pla. El mòdul és la seva distància a l'origen, o sigui Pitàgores:

$|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(4)^2 + (3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$

Com que hi ha quadrats, els signes no importen: el mòdul mai no és negatiu.