Divisibilitat, màxim comú divisor i mínim comú múltiple

Calcular el MCD i el mcm és mecànic i s'aprèn en un dia. El que de veritat es demana en aquest tema és saber quin dels dos et toca davant d'un problema escrit, i això es decideix amb una sola pregunta que veuràs al final.

El que has de dominar abans: multiplicar i dividir nombres naturals.

Divisors, múltiples i primers

Un nombre $a$ és divisor de $b$ si $b = a\cdot k$ per a algun enter $k$. Dit d'una altra manera: si la divisió és exacta i no sobra res. I llavors $b$ és múltiple de $a$. Són les dues cares de la mateixa moneda: $3$ és divisor de $12$ i $12$ és múltiple de $3$.

Un primer és un natural més gran que $1$ que només té dos divisors positius: l'$1$ i ell mateix. Els primers petits convé sabre'ls de memòria: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29\ldots$

Criteris de divisibilitat

Per saber si un nombre és divisible per un altre sense fer la divisió:

Divisible per	Com es comprova
2	L'última xifra és parella
3	La suma de les xifres és múltiple de 3
5	Acaba en 0 o en 5
9	La suma de les xifres és múltiple de 9
10	Acaba en 0

Per exemple, $4\,572$: acaba en xifra parella, o sigui divisible per $2$; i $4+5+7+2 = 18$, que és múltiple de $9$, o sigui que també és divisible per $3$ i per $9$.

Descompondre en factors primers

Consisteix a escriure el nombre com un producte de primers. Es fa dividint repetidament pel primer més petit que hi càpiga:

$$36 = 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3 = 2^{2}\cdot 3^{2}, \qquad 48 = 2^{4}\cdot 3.$$

Aquesta descomposició és única per a cada nombre, i és la base de tot el que ve ara.

MCD i mcm amb les descomposicions

El màxim comú divisor és el divisor més gran que comparteixen. Amb les descomposicions:

Agafa els factors comuns, cadascun amb l'exponent més petit.

El mínim comú múltiple és el múltiple més petit que comparteixen:

Agafa tots els factors que apareguin, cadascun amb l'exponent més gran.

Exercici resolt: descompondre en factors primers

Descompon $60$ en factors primers.

Divideix pel primer més petit que hi càpiga, i repeteix.

$$60 : 2 = 30,\quad 30 : 2 = 15,\quad 15 : 3 = 5,\quad 5 : 5 = 1.$$

Els primers que has fet servir són $2$, $2$, $3$ i $5$:

$$60 = 2^{2}\cdot 3\cdot 5.$$

Comprovació: $4\cdot 3\cdot 5 = 60$ ✓.

Truc per no encallar-te: ves provant els primers en ordre ($2$, després $3$, després $5$, després $7$...) i no passis al següent fins que el que tens ja no sigui divisible pel que estàs provant.

Exercici resolt: dues alarmes que coincideixen

Dues alarmes sonen cada $12$ i cada $18$ minuts. Han coincidit a les 9.00. Quan tornaran a coincidir?

Per què és el mcm. La primera sona als minuts $12, 24, 36, 48, 60, 72\ldots$ (múltiples de $12$) i la segona als $18, 36, 54, 72\ldots$ (múltiples de $18$). Coincidiran en un instant que sigui múltiple de tots dos alhora, i la primera vegada que passi serà al múltiple comú més petit.

El càlcul. $12 = 2^{2}\cdot 3$ i $18 = 2\cdot 3^{2}$. Agafant tots els factors amb l'exponent més gran:

$$\text{mcm}(12,18) = 2^{2}\cdot 3^{2} = 36.$$

Resposta: tornaran a coincidir 36 minuts després, és a dir a les 9.36.

Comprovació a mà: $36 = 3\cdot 12$ ✓ i $36 = 2\cdot 18$ ✓. I mirant les llistes de dalt, el $36$ és efectivament el primer que surt a les dues.

Com decidir si un problema és de MCD o de mcm

Aquesta és la part que més costa dels problemes amb text, i hi ha una manera de resoldre-ho que funciona gairebé sempre: mira si el que busques és més petit o més gran que les dades.

Si busques una mida de tros, de grup o de paquet en què es pugui repartir tot sense que sobri res, el resultat serà més petit que les dades i és un MCD. Les paraules típiques són «el més gran possible», «sense que sobri», «tots iguals», «la mida màxima».

Si busques un moment en què dues coses coincideixen o una quantitat que contingui totes les dades un nombre exacte de vegades, el resultat serà més gran que les dades i és un mcm. Les paraules típiques són «tornaran a coincidir», «el mínim nombre de», «cada quants dies».

I hi ha un control final que no falla: quan tinguis la resposta, mira la seva mida. Si has calculat un MCD i t'ha sortit més gran que les dades, has fet un mcm sense adonar-te'n, i a l'inrevés.

Una relació útil entre els dos

Per a qualsevol parell de nombres positius es compleix

$$\text{MCD}(a,b)\cdot\text{mcm}(a,b) = a\cdot b.$$

Això vol dir que si ja has calculat un dels dos, l'altre surt d'una divisió. Amb $a = 12$ i $b = 18$, el MCD és $6$, de manera que el mcm és $\frac{12\cdot 18}{6} = 36$, sense haver de tornar a mirar les descomposicions.

A més serveix com a comprovació: si has calculat tots dos per separat, multiplica'ls i mira si et dona el producte dels nombres de partida. Si no quadra, un dels dos està malament. Compte, però: aquesta relació val només per a dos nombres; amb tres o més no funciona.

On ho faràs servir

La divisibilitat sembla un tema de números sols, però és l'eina de tot el que vindrà amb fraccions: simplificar necessita el MCD i sumar necessita el mcm. Si aquests dos càlculs no et surten amb fluïdesa, tot el bloc de fraccions es fa el doble de lent.

Més endavant, la mateixa idea de descompondre en factors reapareix amb polinomis: factoritzar un polinomi és exactament descompondre'l en les peces que el multipliquen, i serveix per al mateix, simplificar i trobar denominadors comuns.