Equacions de primer grau: què vol dir «passar a l'altre costat»

Resoldre una equació no és aplicar regles de memòria sobre signes que canvien de costat: és fer la mateixa operació als dos membres fins que la incògnita queda sola. Si entens això, no has de recordar cap regla, i a més pots explicar cada pas, que és el que es demana als exàmens.

El que has de dominar abans: expressions equivalents i operacions amb signes.

Què és una equació

Una equació demana quins valors fan certa una igualtat. La solució és el conjunt de valors que la compleixen, i pot tenir un element, cap o infinits.

Les operacions que conserven la igualtat

Una igualtat es manté si:

Sumes o restes la mateixa expressió als dos membres.

Multipliques o divideixes els dos membres pel mateix número diferent de zero.

Aquestes dues regles són tot el que necessites. El que se'n diu «passar un terme a l'altre costat canviant-li el signe» és simplement sumar o restar la mateixa cosa als dos membres, i «passar un número dividint» és dividir els dos membres per aquest número.

Per què importa dir-ho així. Perquè la versió memoritzada no et diu quan no es pot fer. Dividir els dos membres per $x$ no és vàlid si $x$ pot ser zero, i aquest és precisament l'error que fa perdre solucions a les equacions factoritzades.

Els tres casos finals

Després de reduir, una equació de primer grau queda de la forma

$$a\,x = b.$$

Hi ha tres possibilitats, i cal saber-les distingir:

Si $a \neq 0$: hi ha una solució única, $x = b/a$.

Si queda $0x = 0$: la igualtat és certa sigui el que sigui $x$. Hi ha infinites solucions: és una identitat.

Si queda $0x = b$ amb $b \neq 0$: la igualtat és falsa sempre. No hi ha solució: és una contradicció.

Comprovar

Comprovar és substituir la solució a l'equació original, no a cap de les versions intermèdies. Si un pas intermedi tenia un error, comprovar a l'equació transformada no el detectaria.

Exercici resolt: una equació lineal senzilla

Resol $5x + 2 = 2x + 17$.

Resta $2x$ als dos membres.

$$3x + 2 = 17.$$

Resta $2$ als dos membres.

$$3x = 15.$$

Divideix els dos membres per $3$.

$$x = 5.$$

Comprovació a l'original.

$$5\cdot 5 + 2 = 27, \qquad 2\cdot 5 + 17 = 27 \quad\checkmark$$

Un comentari sobre l'ordre dels passos. Hauria funcionat igual restar primer el $2$ i després el $2x$: l'ordre no afecta el resultat. El que convé per sistema és agrupar primer les incògnites en el membre on el coeficient queda positiu, perquè així s'evita arrossegar un signe negatiu fins al final. Aquí, restant $2x$, el coeficient queda $+3$; si hagués restat $5x$, hauria quedat $-3x = -15$, que dona el mateix però amb un pas més de signes.

Exercici resolt: una identitat

Quines solucions té $2x + 6 = 2(x+3)$? Explica per què provar només $x=0$ no descriu tot el conjunt de solucions.

Desenvolupa el membre de la dreta.

$$2(x+3) = 2x + 6.$$

L'equació queda

$$2x + 6 = 2x + 6.$$

Resta $2x$ als dos membres i després $6$:

$$0 = 0.$$

Les incògnites han desaparegut i la igualtat que queda és certa, sigui el que sigui $x$.

Conclusió: infinites solucions. Qualsevol nombre real compleix l'equació. És una identitat, no una equació amb una solució concreta: els dos membres són la mateixa expressió escrita de dues maneres.

La segona part de la pregunta. Provar $x=0$ dona $6=6$, que és cert, de manera que $x=0$ és una solució. Però això sol no diu res sobre les altres: una equació pot tenir $x=0$ com a solució i no tenir-ne cap altra.

Per què la comprovació individual no és suficient. Per descriure tot el conjunt de solucions cal el raonament algebraic, no casos. Amb $x=0$, $x=1$ i $x=100$ comprovats sabries que n'hi ha almenys tres, però no que n'hi ha infinites. El que ho demostra és el pas a $0=0$: en no quedar cap condició sobre $x$, cap valor no queda exclòs.

La connexió amb el tema anterior. És la mateixa asimetria de les expressions equivalents: provar valors pot refutar, però no pot demostrar una afirmació sobre tots els valors.

On ho faràs servir

Aquest és el tema més reutilitzat de tot el currículum. Resoldràs equacions lineals per aïllar variables en fórmules de física, per trobar punts de tall de rectes al bloc de funcions, per resoldre sistemes i com a últim pas de pràcticament qualsevol problema algebraic.

Els tres casos finals, en concret, reapareixen al tema de sistemes: solució única és el cas de dues rectes secants, cap solució és el de dues paral·leles i infinites solucions és el de dues rectes coincidents. Veuràs que és exactament la mateixa classificació amb una dimensió més.

I a batxillerat, la idea de fer la mateixa operació als dos membres és la que justifica totes les transformacions d'equacions, incloses les que tenen arrels o logaritmes, on cal anar amb cura precisament perquè algunes operacions no conserven el conjunt de solucions.