Decimals i fracció generatriu: exactes, periòdics i aproximacions

Decimals i fraccions són la mateixa cosa escrita de dues maneres. Saber passar d'una a l'altra et deixa triar la que convingui a cada problema: la fracció per calcular sense perdre precisió, el decimal per comparar o per fer-te una idea de la mida.

El que has de dominar abans: fraccions equivalents i divisions.

De fracció a decimal

Divideix el numerador entre el denominador. En surten dos tipus de resultat:

Decimal exacte: s'acaba. $\dfrac38 = 0{,}375$.

Decimal periòdic: no s'acaba mai, però repeteix un bloc de xifres indefinidament. $\dfrac13 = 0{,}333\ldots$, que s'escriu $0{,}\overline{3}$ amb una barra sobre el bloc que es repeteix.

Com saber quin dels dos sortirà sense dividir. Simplifica la fracció fins a la irreductible i mira el denominador:

Si els seus únics factors primers són 2 i/o 5, el decimal és exacte. Si hi ha qualsevol altre primer, és periòdic.

El motiu és que el nostre sistema és de base deu, i $10 = 2\cdot 5$: només els denominadors fets amb aquests dos factors poden convertir-se en una potència de deu.

De decimal exacte a fracció

Escriu les xifres decimals sobre la potència de deu que correspongui i simplifica:

$$0{,}375 = \frac{375}{1000} = \frac{3}{8}.$$

Un decimal darrere la coma → entre $10$; dos → entre $100$; tres → entre $1000$.

De decimal periòdic a fracció

Aquí hi ha un mètode, i funciona sempre. La idea és restar dues versions del mateix nombre perquè la part infinita s'elimini.

1. Diguem $x$ al nombre.
2. Multiplica per la potència de $10$ que calgui perquè els períodes quedin alineats.
3. Resta les dues igualtats: la part infinita desapareix.
4. Aïlla $x$ i simplifica.

Exacte no és el mateix que aproximat

$$\frac13 = 0{,}\overline{3} \qquad\text{però}\qquad \frac13 \approx 0{,}33.$$

El signe $=$ diu que les dues coses són el mateix nombre. El signe $\approx$ diu que hi ha hagut una pèrdua de precisió.

Exercici resolt: decimal exacte a fracció

Expressa $0{,}45$ com a fracció irreductible.

Dues xifres decimals → denominador $100$:

$$0{,}45 = \frac{45}{100}.$$

Simplifica. El MCD de $45$ i $100$ és $5$:

$$\frac{45}{100} = \frac{9}{20}.$$

És irreductible? $9 = 3^{2}$ i $20 = 2^{2}\cdot 5$: no comparteixen res. Sí.

Comprovació: $9:20 = 0{,}45$ ✓. I de passada, com que $20$ només té factors $2$ i $5$, havia de donar decimal exacte, que és el que teníem.

Exercici resolt: periòdic pur

Troba la fracció generatriu de $0{,}\overline{27}$.

Pas 1. Diguem $x = 0{,}272727\ldots$

Pas 2. El període té dues xifres i comença just després de la coma (és un periòdic pur), o sigui que multipliquem per $100$ una sola vegada:

$$100x = 27{,}272727\ldots$$

Pas 3 — resta.

$$100x - x = 27{,}2727\ldots - 0{,}2727\ldots$$$$99x = 27.$$

Pas 4 — aïlla i simplifica. El MCD de $27$ i $99$ és $9$:

$$x = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}.$$

Comprovació: $3:11 = 0{,}272727\ldots$ ✓

El patró que pots aprofitar. En un periòdic pur, el numerador és el període i el denominador són tants nous com xifres té el període: $0{,}\overline{27} = \frac{27}{99}$, $0{,}\overline{5} = \frac59$, $0{,}\overline{123} = \frac{123}{999}$. Però aprèn-te el mètode igualment, perquè amb els mixtos (com el de l'exemple de dalt) aquesta drecera no val.

Per què hi ha períodes

Val la pena entendre d'on surt el fet que una divisió es repeteixi, perquè no és màgia sinó una conseqüència inevitable de com funciona l'algorisme de dividir.

Quan divideixes $a$ entre $b$, a cada pas et queda un residu, i aquest residu sempre és un nombre entre $0$ i $b-1$. Això vol dir que només hi ha $b$ residus possibles. Si en algun moment surt residu $0$, la divisió s'acaba i el decimal és exacte. Si no, com que els residus possibles són limitats, abans o després n'ha de tornar a aparèixer un que ja havies tingut, i a partir d'aquí tot el procés es repeteix igual: les mateixes xifres, en el mateix ordre, per sempre.

D'aquí surten dues conseqüències que es poden fer servir com a control. La primera és que el període no pot tenir més xifres que $b-1$: dividint per $7$, el període té com a màxim sis xifres, i de fet en té sis exactament ($1/7 = 0{,}\overline{142857}$). La segona és que una divisió entre enters sempre dona decimal exacte o periòdic: no hi ha cap tercera possibilitat.

Els nombres amb decimals infinits que no es repeteixen existeixen, però no es poden escriure com a fracció d'enters. Són els irracionals, com $\pi$ o $\sqrt2$, i els veuràs al tema dels conjunts numèrics.

El cas estrany del 0,999...

Aquest apareix sempre que algú explica els periòdics i genera discussions. Aplica el mètode a $x = 0{,}\overline9$:

$$10x = 9{,}999\ldots, \qquad 10x - x = 9, \qquad 9x = 9, \qquad x = 1.$$

El mètode diu que $0{,}\overline9 = 1$. I és correcte: no són dos nombres propers, són el mateix nombre escrit de dues maneres. La intuïció es resisteix perquè sembla que hi falti alguna cosa, però no hi ha cap nombre entre $0{,}\overline9$ i $1$, i dos nombres diferents sempre tenen altres nombres entremig.

Una altra manera de veure-ho: $\frac13 = 0{,}\overline3$, i multiplicant per tres, $1 = 0{,}\overline9$.

On ho faràs servir

A la pràctica, el que més faràs servir és la conversió en tots dos sentits. La fracció et serveix per calcular sense perdre precisió, i és la forma en què es demanen els resultats exactes. El decimal et serveix per comparar, per estimar i per donar un resultat que una persona pugui interpretar: ningú no diu que ha corregut $\frac{21}{2}$ quilòmetres.

I el criteri del denominador et serà útil com a control: si estàs fent un càlcul amb terços i et surt un decimal que s'acaba, has perdut precisió pel camí.