Canvis percentuals: factors multiplicatius i valor inicial

Aquest tema es resumeix en una sola idea: un canvi percentual és una multiplicació. Si l'adoptes, tot el que ve després (els canvis en cadena, el valor inicial, el descompte equivalent) surt sol, i deixes de necessitar cap regla.

El que has de dominar abans: percentatges i equacions senzilles.

El factor multiplicatiu

Augmentar un $p\,\%$ és multiplicar per

$$1 + \frac{p}{100},$$

i disminuir-lo és multiplicar per

$$1 - \frac{p}{100}.$$

Així, pujar un $20\,\%$ és multiplicar per $1{,}2$; baixar un $15\,\%$ és multiplicar per $0{,}85$; pujar un $7\,\%$ és multiplicar per $1{,}07$.

Per què funciona. Si tens $C$ i hi afegeixes el $20\,\%$ de $C$, el resultat és $C + 0{,}2C = 1{,}2C$. El factor no és una drecera: és el mateix càlcul escrit en un sol pas.

El gran avantatge és que els factors es poden multiplicar entre ells per combinar diversos canvis, cosa que amb sumes i restes separades no es pot fer.

Trobar el valor inicial

Si saps el valor final i el canvi que s'ha aplicat, el valor inicial surt dividint pel factor:

$$\text{inicial} = \frac{\text{final}}{\text{factor}}.$$

Això és la part del tema que es fa malament més sovint, perquè la temptació és aplicar el percentatge al revés sobre el valor final. Si un preu ha pujat un $8\,\%$ i ara val $270$, el preu anterior no és $270$ menys el seu $8\,\%$: és $270 : 1{,}08$.

Canvis successius

Quan s'apliquen diversos canvis un darrere l'altre, els factors es multipliquen:

$$\text{factor global} = f_1 \cdot f_2 \cdot \ldots$$

El motiu és que cada percentatge actua sobre el valor ja modificat, no sobre l'original. Per això els percentatges no se sumen mai.

Punts percentuals i percentatge relatiu

Si una taxa passa del $20\,\%$ al $25\,\%$, hi ha dues maneres correctes de dir-ho, i responen a preguntes diferents:

Ha augmentat $5$ punts percentuals. És la diferència simple entre les dues taxes.

Ha augmentat un $25\,\%$. És el canvi relatiu respecte a la taxa inicial: $(25-20)/20 = 0{,}25$.

Cap de les dues no és més certa que l'altra, però confondre-les canvia completament la impressió que es dona. Aquesta ambigüitat és una de les maneres més habituals de presentar dades de manera esbiaixada sense dir cap mentida.

Exercici resolt: un preu que baixa un 15 %

Un preu de $120$ euros baixa un $15\,\%$. Quin és el preu final?

Escriu el factor. Baixar un $15\,\%$ és multiplicar per $1 - 0{,}15 = 0{,}85$.

$$120 \cdot 0{,}85 = 102 \ \text{euros}.$$

Comprovació pel camí llarg. El $15\,\%$ de $120$ és $18$, i $120 - 18 = 102$ ✓

Comprovació de sentit. Una rebaixa del $15\,\%$ ha de deixar el preu una mica per sota del original però clarament per damunt del $50\,\%$. $102$ encaixa.

Resposta: $102$ euros. Fixa't que els dos camins són el mateix càlcul; el del factor és un pas en comptes de dos, i és el que et permetrà encadenar rebaixes al problema següent.

Exercici resolt: trobar el valor inicial

Després d'augmentar un $8\,\%$, una quantitat és $270$. Troba el valor inicial.

Escriu el factor. Augmentar un $8\,\%$ és multiplicar per $1{,}08$.

Planteja l'equació. Si $x$ és el valor inicial,

$$1{,}08\,x = 270.$$

Aïlla dividint pel factor.

$$x = \frac{270}{1{,}08} = 250.$$

Comprovació. $250 \cdot 1{,}08 = 270$ ✓

L'error que cal evitar. La temptació és restar el $8\,\%$ de $270$:

$$270 - 0{,}08\cdot 270 = 248{,}40,$$

que no és la resposta. I es veu per què: si partíssim de $248{,}40$ i hi apliquéssim un $8\,\%$, arribaríem a $268{,}27$, no a $270$. El motiu és que el $8\,\%$ s'havia aplicat sobre $250$, no sobre $270$.

La regla, un altre cop. Per desfer un canvi percentual es divideix pel factor. Mai no es resta el mateix percentatge sobre el valor final.

On ho faràs servir

Aquest tema és el que fa servir més gent fora de l'escola: rebaixes, IVA, pujades de sou, variacions de preus, inflació, interessos bancaris i qualsevol dada econòmica que es comuniqui en percentatges.

Al tema següent del bloc, els interessos compostos són exactament això: el mateix factor aplicat $n$ vegades, cosa que es converteix en una potència. I al bloc de funcions reapareixerà com la funció exponencial, que és el model d'allò que creix o decreix sempre pel mateix factor.

Si de tot el tema te'n queda una sola frase, que sigui aquesta: un canvi percentual és un factor, i els factors es multipliquen. Amb això tens resolt el tema i bona part del que ve després.