Freqüències, taules i gràfics: triar la representació adequada

⏱ 6 min de lecturaESO

Vols practicar? Aquest tema té 104 exercicis interactius de 4 tipus, de deu en deu, amb correcció immediata i explicació pas a pas.

Una taula de freqüències ben feta ja respon la meitat de les preguntes d'un estudi. I el gràfic adequat depèn del tipus de variable, no de quin queda més bonic.

El que has de dominar abans: percentatges i els tipus de variable.

Les tres freqüències

La freqüència absoluta $n_i$ compta quantes vegades apareix un valor o una categoria.

La freqüència relativa és la proporció:

h_i = \frac{n_i}{N}.

La freqüència acumulada suma la del valor amb les de tots els anteriors, i només té sentit si les categories es poden ordenar: en una variable qualitativa com el color preferit no vol dir res.

Dues comprovacions que convé fer sempre:

\sum n_i = N, \qquad \sum h_i = 1.

La segona pot fallar en l'última xifra per efectes d'arrodoniment, i això és normal; si falla en més, hi ha un error.

Quin gràfic per a quina variable

Barres: per a categories o per a valors discrets amb pocs valors diferents. Les barres estan separades, perquè entre categories no hi ha continuïtat.

Sectors: reparteixen un total. Cada angle és

\alpha_i = 360^{\circ}\,h_i.

Només té sentit si les parts sumen el total i no se solapen.

Histograma: per a una variable numèrica agrupada en intervals. Les barres es toquen, perquè els intervals són contigus.

Gràfic temporal: quan les observacions estan ordenades pel temps.

Histogrames amb intervals desiguals

Aquí hi ha el detall tècnic del tema. Si tots els intervals tenen la mateixa amplada, l'altura de la barra pot ser la freqüència directament.

Si tenen amplades diferents, el que ha de representar la freqüència és l'àrea de la barra, i per tant l'altura ha de ser la densitat:

\text{densitat} = \frac{n_i}{\text{amplada}}.

Si no es fa així, un interval ample sembla molt més important del que és.

L'escala d'un eix pot canviar la impressió d'un gràfic

En un histograma d'intervals desiguals, no compares només altures si no s'ha ajustat l'amplada: el que has de comparar són les àrees.

I una advertència més general, que val per a qualsevol gràfic: l'escala i l'origen dels eixos alteren la impressió visual. Un gràfic de barres que comença l'eix vertical a $95$ en comptes de a $0$ fa que una diferència de dos punts sembli enorme.

Això no és sempre un engany deliberat: de vegades retallar l'eix és la manera de veure una variació petita que importa. Però el lector ha de poder-ho saber, i per això l'eix s'ha d'etiquetar amb els seus valors reals.

Quan llegeixis un gràfic, mira primer l'eix vertical. És el primer lloc on es pot exagerar una diferència.

Una taula completa de freqüències

El nombre de llibres llegits per deu alumnes és $1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4$ . Fes la taula de freqüències i interpreta-la.

La taula.

Llibres $x_i$	$1$	$2$	$3$	$4$
Absoluta $n_i$	$1$	$2$	$3$	$4$
Relativa $h_i$	$0{,}1$	$0{,}2$	$0{,}3$	$0{,}4$
Acumulada $N_i$	$1$	$3$	$6$	$10$

Comprovacions. Les absolutes sumen $1+2+3+4 = 10 = N$ ✓ Les relatives sumen $0{,}1+0{,}2+0{,}3+0{,}4 = 1$ ✓ I l'última acumulada és $10 = N$ ✓

Aquestes tres comprovacions detecten pràcticament qualsevol error de recompte.

Com es llegeix l'acumulada. $N_3 = 6$ vol dir que sis alumnes han llegit com a màxim tres llibres, és a dir el $60\,\%$ .

Un detall de llenguatge important. «Com a màxim tres» inclou el tres. Si la pregunta fos «menys de tres», la resposta seria $N_2 = 3$ , és a dir el $30\,\%$ . La diferència entre «com a màxim» i «menys que» és exactament una categoria, i és on es perden punts en aquests exercicis.

Quin gràfic hi va. La variable és quantitativa discreta amb pocs valors, de manera que un gràfic de barres separades és el que correspon. Un histograma amb barres que es toquen suggeriria que hi ha valors intermedis, i no n'hi ha: ningú no llegeix $2{,}5$ llibres.

Intervals desiguals i densitat

Dos intervals tenen freqüència $20$ cadascun, però amplades $5$ i $10$ . Quines altures necessiten perquè les àrees de l'histograma siguin comparables?

El principi. En un histograma, el que representa la freqüència és l'àrea de la barra:

\text{àrea} = \text{amplada} \times \text{altura} = n_i.

Les densitats.

\text{primer interval: } \frac{20}{5} = 4, \qquad \text{segon interval: } \frac{20}{10} = 2.

Comprovació de les àrees. $5 \cdot 4 = 20$ ✓ i $10 \cdot 2 = 20$ ✓ Les dues barres tenen la mateixa àrea, que és el que ha de passar perquè tenen la mateixa freqüència.

Com es veuria el gràfic. La primera barra és estreta i alta i la segona ampla i baixa. Visualment no s'assemblen gens, i tot i així representen el mateix nombre de dades. Això és correcte: l'ull compara superfícies.

Què passaria si no s'ajustés. Dibuixant totes dues amb altura $20$ , la segona tindria el doble d'àrea i semblaria el doble d'important. Un lector en treuria una conclusió falsa, i el gràfic estaria tècnicament malament.

Per què aquest detall existeix. Perquè sovint els intervals desiguals són inevitables: en dades d'edat, per exemple, és habitual agrupar «de $0$ a $4$ », «de $5$ a $14$ », «de $15$ a $64$ » i « $65$ o més». Amb intervals tan diferents, la densitat és l'única manera de representar-ho honestament.

Comprova que les freqüències sumin el total

Un cop feta la taula, suma les absolutes (han de donar $N$ ) i les relatives (han de donar $1$ ).

És una comprovació de deu segons que agafa els errors de recompte, que són els més habituals i els més difícils de veure a ull. I si després fas un gràfic de sectors, comprova també que els angles sumin $360^{\circ}$ .

Exercici resolt: freqüència relativa i percentatge

En una mostra de $40$ persones, una categoria té freqüència absoluta $12$ . Troba la relativa i el percentatge.

Freqüència relativa.

h = \frac{12}{40} = 0{,}3.

Percentatge.

0{,}3\cdot 100 = 30\,\%.

Comprovació. El $30\,\%$ de $40$ és $0{,}3\cdot 40 = 12$ ✓

Comprovació de sentit. $12$ és menys d'un terç de $40$ , i $30\,\%$ és una mica menys d'un terç ✓

Un detall sobre què dona informació. La freqüència absoluta ( $12$ ) i la relativa ( $30\,\%$ ) diuen coses diferents i totes dues convé donar-les. El $30\,\%$ permet comparar amb altres mostres de mides diferents; el $12$ diu quina és la magnitud real i, per tant, quanta confiança merèixen les conclusions. Un $30\,\%$ sobre $40$ persones és una cosa; un $30\,\%$ sobre $4\,000$ és una altra de molt més sòlida.

Exercici resolt: l'angle d'un sector

Un sector d'un gràfic circular representa el $35\,\%$ del total. Quin angle té?

Aplica la fórmula.

\alpha = 360^{\circ}\cdot 0{,}35 = 126^{\circ}.

Comprovació de sentit. El $35\,\%$ és una mica més d'un terç, i un terç de la circumferència és $120^{\circ}$ . $126^{\circ}$ és just per damunt ✓

Comprovació amb el complementari. La resta del gràfic és el $65\,\%$ , que ocuparia $360 \cdot 0{,}65 = 234^{\circ}$ . I $126 + 234 = 360$ ✓ Aquesta comprovació és la que convé fer quan dibuixes un gràfic de sectors sencer: tots els angles han de sumar exactament la volta.

Una referència útil per fer-ho de cap. L' $1\,\%$ són $3{,}6^{\circ}$ . Per tant el $25\,\%$ són $90^{\circ}$ , el $50\,\%$ són $180^{\circ}$ i el $10\,\%$ són $36^{\circ}$ . Amb aquestes referències es pot estimar qualsevol sector i detectar de seguida un càlcul desviat.

Quan un gràfic de sectors no és adequat. Si les categories no reparteixen un total (per exemple si una persona pot triar diverses opcions), els percentatges sumen més de cent i el gràfic circular no es pot fer servir. En aquest cas, el correcte és un gràfic de barres.

On ho faràs servir

Les taules de freqüències són el pas previ a totes les mesures dels temes següents: la mitjana ponderada, la mediana i els quartils es calculen a partir d'elles.

La lectura crítica de gràfics és una de les habilitats més útils fora de l'aula, perquè la major part de la informació quantitativa que rebràs vindrà en forma de gràfic, i l'escala dels eixos és el lloc on es decideix la impressió que fa.

I la idea que en un histograma mana l'àrea reapareix a batxillerat amb les funcions de densitat de probabilitat, on la probabilitat és literalment una àrea sota una corba. És el mateix principi, amb una formulació més general.

Ara prova-ho tu. 104 exercicis d'aquest tema, de 4 tipus diferents, per resoldre en línia, de deu en deu: escrius la resposta, te la corregeix a l'instant i, si falles, t'explica com es fa pas a pas. Quan acabis una tanda, en tens deu més, amb dades noves.

Fer els exercicis Simulacre d'examen