Sumar i restar fraccions: denominador comú pas a pas

⏱ 6 min de lecturaESO

Vols practicar? Aquest tema té 108 exercicis interactius de 4 tipus, de deu en deu, amb correcció immediata i explicació pas a pas.

Tot aquest tema es resumeix en una frase: no pots sumar trossos de mides diferents sense convertir-los primer a la mateixa mida. Si t'agafes a aquesta idea, la regla deixa de ser una cosa que s'ha de memoritzar.

El que has de dominar abans: fraccions equivalents i el mínim comú múltiple.

Per què cal el denominador comú

Si tens $2/7$ i hi sumes $3/7$ , tots els trossos són setens, o sigui que només cal comptar-los: en tens $5$ en total.

\frac{a}{m} + \frac{b}{m} = \frac{a+b}{m}.

El denominador no canvia, perquè la mida del tros no ha canviat: només n'has comptat més.

Però si tens $1/2$ i $1/3$ , els trossos són de mides diferents i no els pots ajuntar directament. Has de tornar a partir les dues coses en trossos iguals. Els sisens serveixen per a totes dues: $1/2 = 3/6$ i $1/3 = 2/6$ , i ara sí que es poden ajuntar: $5/6$ .

Els denominadors NO se sumen

\frac12 + \frac13 \neq \frac{2}{5}.

Pensa-ho: $1/2$ ja és $0{,}5$ , i $2/5$ és $0{,}4$ . Com pot ser que sumant alguna cosa positiva surti menys del que ja tenies?

El resultat correcte és $5/6 \approx 0{,}83$ . Si algun dia et surt una suma de fraccions més petita que les dues que sumaves, aquest és segurament l'error.

El procediment, pas a pas

Tria el denominador comú. El mcm dels denominadors és el que dona els nombres més petits, però qualsevol múltiple comú funciona (per exemple, el producte de tots).
Mira per quin factor has multiplicat cada denominador per arribar-hi.
Multiplica el numerador pel mateix factor. Això és el pas que es descuida: si només canvies el denominador, estàs canviant el valor de la fracció.
Suma o resta els numeradors i deixa el denominador comú.
Simplifica el resultat si es pot.

Detalls que apareixen sovint

Els enters també són fraccions. $2 = \dfrac{2}{1} = \dfrac{12}{6}$ . Si has de sumar $2 + \dfrac{1}{6}$ , escriu el $2$ amb denominador $6$ i ja ho tens.

Els parèntesis manen igual. Si hi ha parèntesis, es resolen primer, exactament com amb els enters.

Compte amb el signe menys davant d'una fracció amb numerador de diversos termes: afecta tot el numerador.

Tres fraccions amb denominadors diferents

Calcula $\dfrac56 - \dfrac14 + \dfrac13$ .

Pas 1 — denominador comú. $6 = 2\cdot 3$ , $4 = 2^{2}$ , $3 = 3$ . El mcm agafa $2^{2}$ i $3$ :

\text{mcm}(6,4,3) = 12.

Pas 2 i 3 — converteix cada fracció.

$6\cdot 2 = 12$ , o sigui $\dfrac56 = \dfrac{10}{12}$ .
$4\cdot 3 = 12$ , o sigui $\dfrac14 = \dfrac{3}{12}$ .
$3\cdot 4 = 12$ , o sigui $\dfrac13 = \dfrac{4}{12}$ .

Pas 4 — opera els numeradors.

\frac{10}{12} - \frac{3}{12} + \frac{4}{12} = \frac{10-3+4}{12} = \frac{11}{12}.

Pas 5 — simplificar? $11$ és primer i no divideix $12$ : ja està.

Comprovació de sentit comú. $11/12$ és una mica menys d' $1$ . Té sentit: partíem de $5/6$ i, en conjunt, hem afegit $\frac13 - \frac14 = \frac{1}{12}$ . Efectivament, $\frac{10}{12} + \frac{1}{12} = \frac{11}{12}$ ✓

Quan el denominador comú és fàcil de veure

Calcula $\dfrac{3}{4} - \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{6}$ .

Denominador comú: el mcm de $4$ , $3$ i $6$ és $12$ .

\frac34 = \frac{9}{12},\qquad \frac23 = \frac{8}{12},\qquad \frac16 = \frac{2}{12}.

Opera:

\frac{9 - 8 + 2}{12} = \frac{3}{12} = \frac14.

Aquí sí que calia simplificar: $3$ i $12$ tenen el $3$ en comú.

Un avís sobre l'ordre. Fixa't que he fet $9 - 8 + 2$ d'esquerra a dreta. Si haguessis fet primer $8 + 2 = 10$ i després $9 - 10$ , t'hauria sortit $-1/12$ , que és un resultat diferent i incorrecte. La resta i la suma tenen la mateixa prioritat i van en ordre d'aparició.

Dos hàbits que estalvien errors

Escriu les equivalències explícitament fins que el procés et surti sol. És a dir, escriu 5/6 = 10/12 en comptes de canviar el numerador mentalment.

Estima abans. Mira si cada fracció és més gran o més petita que $1/2$ i fes-te una idea del total. Si calcules $\frac56 - \frac14 + \frac13$ i et surt $3$ , ja saps que hi ha un error sense comprovar res.

Exercici resolt: mateix denominador

Calcula $\dfrac27 + \dfrac37 - \dfrac17$ .

Els denominadors ja coincideixen, o sigui que no cal convertir res: només es compten els setens.

\frac{2 + 3 - 1}{7} = \frac{4}{7}.

El denominador es queda en $7$ . Aquest és el punt on la gent dubta: no se suma, perquè la mida del tros no ha canviat. Si tenies dos setens, n'hi afegeixes tres i en treus un, et queden quatre setens.

Simplificar? $4$ i $7$ no tenen divisors comuns. Ja està.

Exercici resolt: un problema amb una ampolla

Una ampolla té $\dfrac56$ de litre. Se'n beu $\dfrac14$ de litre i després s'hi afegeix $\dfrac13$ de litre. Cap en una ampolla d'un litre?

Planteja l'operació. El que queda és el que hi havia, menys el que s'ha begut, més el que s'hi ha afegit:

\frac56 - \frac14 + \frac13.

És exactament el càlcul de l'exemple de dalt: dona $\dfrac{11}{12}$ de litre.

Respon la pregunta que et fan. Cal comparar $\dfrac{11}{12}$ amb $1$ . Com que $1 = \dfrac{12}{12}$ i $11 < 12$ :

\frac{11}{12} < 1.

Sí que hi cap, i de fet sobra $\dfrac{1}{12}$ de litre, és a dir uns $83$ mil·lilitres.

El que fa bo aquest exercici. No n'hi ha prou amb calcular: la pregunta és «hi cap?», i la resposta ha de ser sí o no amb la justificació. Donar només $11/12$ seria deixar l'exercici a mitges.

Per què es pot canviar el denominador

Hi ha un pas del procediment que es fa mecànicament i que convé entendre, perquè és el que justifica tot el mètode: quan passes de $\frac56$ a $\frac{10}{12}$ , no estàs canviant el nombre.

El que fas és multiplicar numerador i denominador pel mateix factor, i això és multiplicar la fracció per $\frac22$ , que val $1$ . Multiplicar per $1$ no canvia res. Per això pots fer-ho tantes vegades com vulguis i amb el factor que vulguis: el valor es manté i només canvia la manera d'escriure'l.

Aquesta és la raó per la qual només es pot tocar el denominador si toques el numerador en la mateixa proporció. Si canviessis el $6$ per un $12$ i deixessis el $5$ , hauries dividit la fracció per dos sense adonar-te'n.

Quin denominador comú triar

El mcm dona els números més petits, però qualsevol múltiple comú funciona, i de vegades convé saber-ho.

Si els denominadors són fàcils, el producte de tots és un múltiple comú immediat i t'estalvia calcular el mcm. Amb $\frac23 + \frac15$ , pots anar directament a $15$ sense pensar. L'inconvenient és que amb denominadors grans el producte creix molt i acabes simplificant una fracció enorme al final.

La regla pràctica: si veus el mcm d'un cop d'ull, fes-lo servir; si no, el producte sempre funciona i només et costarà una simplificació extra al final. El que no has de fer mai és quedar-te encallat buscant el mcm perfecte.

Un cas que facilita molt la feina: quan un denominador és múltiple de l'altre, el gran ja és el denominador comú. Amb $\frac14$ i $\frac38$ , el $8$ ja serveix i només has de convertir la primera fracció. Mirar-ho abans de posar-se a calcular estalvia bastant temps.

On ho faràs servir

Sumar fraccions sembla un tema tancat en si mateix, però és la base de coses que vindran després. Les fraccions algebraiques de quart d'ESO i de batxillerat se sumen exactament amb aquest procediment, només que els denominadors són polinomis i el «mcm» es troba factoritzant.

També apareix en qualsevol problema de parts d'un total: feines compartides, dipòsits que s'omplen i es buiden, pressupostos repartits per conceptes. En tots aquests, el plantejament és una suma o resta de fraccions, i la part difícil no és el càlcul sinó decidir quina fracció va amb quin signe.

Per això val la pena agafar l'hàbit d'escriure l'operació completa abans de calcular res: un cop plantejada bé, la resta és mecànica.

Ara prova-ho tu. 108 exercicis d'aquest tema, de 4 tipus diferents, per resoldre en línia, de deu en deu: escrius la resposta, te la corregeix a l'instant i, si falles, t'explica com es fa pas a pas. Quan acabis una tanda, en tens deu més, amb dades noves.

Fer els exercicis Simulacre d'examen