Equacions de segon grau: quin mètode triar i què diu el discriminant

Una equació de segon grau es pot resoldre sempre amb la fórmula general, però gairebé mai cal. La part intel·ligent del tema és triar el mètode: hi ha casos que es resolen en una línia i que amb la fórmula costarien cinc.

El que has de dominar abans: factorització, equacions de primer grau i arrels.

La forma general i el primer pas

Una equació de segon grau és

$$a\,x^{2} + b\,x + c = 0, \qquad a \neq 0.$$

Abans d'identificar $a$, $b$ i $c$, passa tots els termes a un membre i ordena'ls per grau decreixent. Identificar els coeficients d'una equació desordenada és la font d'error número u del tema.

Els casos incomplets: resol-los sense fórmula

Falta el terme independent ($c = 0$), és a dir $ax^{2}+bx=0$. Treu $x$ com a factor comú i aplica el producte nul:

$$x(ax+b) = 0 \qquad\Longrightarrow\qquad x = 0 \ \text{ o } \ x = -\frac{b}{a}.$$

Falta el terme lineal ($b = 0$), és a dir $ax^{2}+c=0$. Aïlla $x^{2}$ i treu l'arrel, amb els dos signes:

$$x^{2} = k \qquad\Longrightarrow\qquad x = \pm\sqrt{k} \quad \text{(si } k > 0\text{)}.$$

Si $k$ surt negatiu, no hi ha solució real.

Es pot factoritzar. Si l'equació completa es factoritza fàcilment, el producte nul és més ràpid que la fórmula.

La fórmula general

Quan cap dels atalls no serveix:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}.$$

El denominador $2a$ divideix tot el numerador, inclòs el $-b$. Escriure la barra de fracció prou llarga abans d'escriure-hi res és una precaució que val la pena.

El discriminant

$$\Delta = b^{2} - 4ac.$$

El discriminant et diu quantes solucions reals hi ha abans de calcular-les:

• $\Delta > 0$: dues solucions reals diferents;
• $\Delta = 0$: una solució real doble;
• $\Delta < 0$: cap solució real.

Calcular-lo primer és un bon hàbit: si surt negatiu, ja has acabat i no cal intentar treure l'arrel d'un negatiu.

Exercici resolt: una quadràtica factoritzable

Resol $x^{2} - 5x + 6 = 0$.

Mira si es pot factoritzar. Busquem dos números que sumin $-5$ i multipliquin $6$: són $-2$ i $-3$.

$$(x-2)(x-3) = 0.$$

Aplica el producte nul.

$$x = 2 \qquad\text{o}\qquad x = 3.$$

Comprovació. A $x=2$: $4 - 10 + 6 = 0$ ✓ A $x=3$: $9 - 15 + 6 = 0$ ✓

Comprovació amb la fórmula, per contrastar el mètode.

$$\Delta = 25 - 24 = 1, \qquad x = \frac{5 \pm 1}{2},$$

que dona $3$ i $2$ ✓ El mateix resultat.

Quin dels dos camins convé. La factorització ha estat més curta, i això sol passar quan el discriminant és un quadrat perfecte petit. Com a estratègia pràctica: prova de factoritzar durant deu segons, i si no surt, ves a la fórmula sense insistir-hi més.

Exercici resolt: un rectangle d'àrea coneguda

Un rectangle té àrea $48$ cm² i un costat $2$ cm més llarg que l'altre. Troba'n els costats.

Defineix la incògnita. Sigui $x$ el costat curt, en centímetres. El llarg és $x+2$.

Escriu la relació. L'àrea és el producte dels costats:

$$x(x+2) = 48.$$

Passa-ho tot a un membre i ordena.

$$x^{2} + 2x - 48 = 0.$$

Resol. Es pot factoritzar: busquem dos números que sumin $2$ i multipliquin $-48$, i són $8$ i $-6$:

$$(x+8)(x-6) = 0 \qquad\Longrightarrow\qquad x = -8 \ \text{ o } \ x = 6.$$

Filtra pel context. Descartem $x = -8$ perquè una longitud no pot ser negativa. Queda $x = 6$.

Interpreta. El costat curt fa $6$ cm i el llarg $6+2 = 8$ cm.

Comprovació amb l'enunciat sencer. Un costat és dos més llarg que l'altre? $8 = 6+2$ ✓ L'àrea és $48$? $6\cdot 8 = 48$ ✓

Per què el pas del filtre s'ha d'escriure. L'equació té dues solucions i totes dues són correctes com a solucions de l'equació. El que no serveix com a resposta al problema és la negativa, i la frase que ho justifica forma part de la solució. Deixar les dues sense comentar, o eliminar-ne una sense dir per què, són les dues maneres de perdre punts en aquest tipus d'exercici.

On ho faràs servir

Les equacions de segon grau apareixen en qualsevol problema amb àrees, en les equacions del moviment uniformement accelerat de física, i en tots els problemes d'optimització senzills.

Al bloc de funcions, les seves solucions són exactament els punts on la paràbola talla l'eix horitzontal, i el discriminant et dirà si la paràbola el talla dues vegades, una o cap. Són les mateixes tres situacions vistes gràficament.

I a batxillerat, la fórmula general reapareix constantment: en els límits, en les derivades igualades a zero per buscar màxims i mínims, i en les equacions biquadrades i racionals, que es redueixen a una de segon grau amb un canvi de variable.