Matly
Cerca

Angles, polígons i circumferència: deduir en comptes de mesurar

⏱ 6 min de lecturaESO

Vols practicar? Aquest tema té 117 exercicis interactius de 4 tipus, de deu en deu, amb correcció immediata i explicació pas a pas.

La geometria no es fa amb el transportador: es fa deduint. Amb quatre propietats bàsiques es pot calcular qualsevol angle d'una figura sense mesurar-ne cap, i això és el que es demana als exercicis.

El que has de dominar abans: la mesura en graus i el vocabulari geomètric bàsic.

Els angles de referència

Un angle recte fa 90∘90^{\circ}, un angle pla fa 180∘180^{\circ} i una volta completa fa 360∘360^{\circ}.

Dos angles oposats pel vèrtex (els que formen dues rectes que es creuen, l'un davant de l'altre) són iguals.

Angles entre paral·leles

Si dues rectes paral·leles són tallades per una secant:

  • els angles corresponents són iguals;
  • els angles interiors del mateix costat sumen 180∘180^{\circ}.

Aquestes dues propietats són les que permeten «transportar» un angle d'un lloc a un altre d'una figura, i són la clau de la majoria dels exercicis de deducció d'angles.

Triangles i polígons

La suma dels angles d'un triangle és 180∘180^{\circ}. Això és un fet, no una aproximació de mesures.

Un polígon simple de nn costats es pot descompondre en n−2n-2 triangles traçant diagonals des d'un vèrtex, de manera que

suma dels angles interiors=(n−2)⋅180∘.\text{suma dels angles interiors} = (n-2)\cdot 180^{\circ}.

Si el polígon és regular, tots els angles són iguals i cada un mesura

(n−2)⋅180∘n.\frac{(n-2)\cdot 180^{\circ}}{n}.

Els angles exteriors d'un polígon qualsevol sumen sempre 360∘360^{\circ}, independentment del nombre de costats.

Els triangles es classifiquen per costats (equilàter, isòsceles, escalè) i per angles (acutangle, rectangle, obtusangle), i les dues classificacions són compatibles: un triangle pot ser isòsceles i rectangle alhora.

Circumferència i cercle

La circumferència és el conjunt de punts a distància rr del centre; el cercle és la regió interior amb la frontera. No són el mateix: una és una línia i l'altre una superfície.

El diàmetre és 2r2r. Una tangent és perpendicular al radi en el punt de tangència.

I la propietat més útil del tema: un angle inscrit que abasta el mateix arc que un angle central mesura la meitat.

Només es divideix si el polígon és regular

La fórmula (n−2)⋅180∘(n-2)\cdot 180^{\circ} dona la suma dels angles de qualsevol polígon simple de nn costats.

Però dividir-la per nn per obtenir cada angle només val si tots són iguals, és a dir si el polígon és regular. En un pentàgon irregular la suma continua sent 540∘540^{\circ}, però els angles poden ser molt diferents entre ells.

I una advertència de mètode: un dibuix que sembla simètric no és una justificació. Si l'enunciat no diu que la figura és regular, o no et dona dades que ho impliquin, no ho pots suposar. En geometria, el que val és el que està declarat o demostrat, no el que sembla al dibuix.

Els angles d'un pentàgon regular

Calcula l'angle interior i l'exterior d'un pentàgon regular.

Suma dels angles interiors. Amb n=5n = 5:

(5−2)⋅180∘=3⋅180∘=540∘.(5-2)\cdot 180^{\circ} = 3\cdot 180^{\circ} = 540^{\circ}.

Cada angle interior. Com que és regular, tots són iguals:

540∘5=108∘.\frac{540^{\circ}}{5} = 108^{\circ}.

L'angle exterior. És el suplementari de l'interior:

180∘−108∘=72∘.180^{\circ} - 108^{\circ} = 72^{\circ}.

Comprovació amb els exteriors. Els cinc angles exteriors han de sumar 360∘360^{\circ}:

5⋅72∘=360∘✓5\cdot 72^{\circ} = 360^{\circ} \quad\checkmark

Aquesta comprovació val sempre i és molt ràpida. Si els exteriors d'un polígon regular no sumen 360∘360^{\circ}, hi ha un error. I de fet dona un camí alternatiu: l'angle exterior d'un polígon regular de nn costats és directament 360∘/n360^{\circ}/n, i l'interior és el que falta fins a 180∘180^{\circ}.

Comprovació amb la descomposició. Cinc costats donen tres triangles, i tres triangles sumen 3⋅180∘=540∘3 \cdot 180^{\circ} = 540^{\circ} ✓ És la mateixa fórmula, llegida com un dibuix.

Angle inscrit i angle central

Un angle inscrit abasta un arc amb angle central de 100∘100^{\circ}. Quant mesura? I si abasta una semicircumferència?

Primera part. L'angle inscrit és la meitat del central que abasta el mateix arc:

100∘2=50∘.\frac{100^{\circ}}{2} = 50^{\circ}.

Segona part: una semicircumferència. L'angle central que abasta una semicircumferència és l'angle pla, 180∘180^{\circ}. Per tant l'angle inscrit és

180∘2=90∘.\frac{180^{\circ}}{2} = 90^{\circ}.

És un angle recte, sempre. Aquest resultat té nom i és molt útil: tot angle inscrit en una semicircumferència és recte. Dit d'una altra manera, si agafes el diàmetre com a base i unes els seus extrems amb qualsevol punt de la circumferència, surt sempre un triangle rectangle.

Per què és tan útil. Et deixa construir triangles rectangles sense mesurar res, i és la justificació de diverses construccions amb regle i compàs. També connecta amb el tema de Pitàgores: qualsevol triangle inscrit amb el diàmetre com a costat compleix el teorema.

La comprovació que es pot fer amb un dibuix. Dibuixa una circumferència, marca'n el diàmetre i tria tres punts diferents de la circumferència. Els tres triangles que surten tenen formes molt diferents, i tots tres tenen un angle recte al vèrtex de la circumferència. És la mena de resultat que sorprèn fins que es veu la justificació.

Marca al dibuix tot el que dedueixes

A cada angle que calculis, escriu-lo al dibuix. Serveix per dues coses: et permet fer servir el resultat al pas següent sense tornar-lo a buscar, i deixa veure si una deducció contradiu una altra.

I escriu al costat quina propietat has fet servir: «oposats pel vèrtex», «corresponents», «suma 180∘180^{\circ}». En un examen, aquesta anotació és el que converteix un número en una deducció justificada.

Exercici resolt: el tercer angle d'un triangle

Un triangle té angles de 35∘35^{\circ} i 65∘65^{\circ}. Troba el tercer.

Fes servir la suma dels angles.

35∘+65∘+x=180∘⟹x=180∘−100∘=80∘.35^{\circ} + 65^{\circ} + x = 180^{\circ} \qquad\Longrightarrow\qquad x = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}.

Comprovació. 35+65+80=18035 + 65 + 80 = 180 ✓

Com es classifica aquest triangle. Els tres angles són menors de 90∘90^{\circ}, de manera que és acutangle. I com que els tres són diferents, cap parell de costats no pot ser igual: també és escalè.

Un detall que val la pena notar. Amb només dos angles ja queda determinat el tercer, però no la mida del triangle: hi ha infinits triangles amb aquests tres angles, tots semblants entre ells. Els angles fixen la forma i no la mida, i això és exactament la idea del tema de semblança.

Exercici resolt: l'angle interior d'un hexàgon regular

Calcula cada angle interior d'un hexàgon regular.

Suma dels angles interiors. Amb n=6n = 6:

(6−2)⋅180∘=4⋅180∘=720∘.(6-2)\cdot 180^{\circ} = 4\cdot 180^{\circ} = 720^{\circ}.

Cada angle. Com que és regular, es pot dividir:

720∘6=120∘.\frac{720^{\circ}}{6} = 120^{\circ}.

Comprovació pel camí dels exteriors. L'angle exterior és 360∘/6=60∘360^{\circ}/6 = 60^{\circ}, i l'interior és 180∘−60∘=120∘180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} ✓

Una observació geomètrica interessant. 120∘120^{\circ} és precisament l'angle que permet que tres hexàgons s'ajuntin exactament al voltant d'un punt: 3⋅120∘=360∘3 \cdot 120^{\circ} = 360^{\circ}. Per això els hexàgons recobreixen el pla sense deixar buits, i és la raó per la qual els ruscos tenen aquesta forma.

Un comprovació de coherència amb la fórmula general. A mesura que nn creix, l'angle interior d'un polígon regular s'acosta a 180∘180^{\circ}: el triangle té 60∘60^{\circ}, el quadrat 90∘90^{\circ}, el pentàgon 108∘108^{\circ}, l'hexàgon 120∘120^{\circ}. Té sentit, perquè amb molts costats el polígon s'assembla cada vegada més a una circumferència i cada costat gairebé continua el següent en línia recta. Si en un exercici et surt un angle interior de més de 180∘180^{\circ}, hi ha un error de càlcul.

On ho faràs servir

Aquestes propietats són les eines de tots els exercicis de deducció d'angles del curs, i reapareixen al tema de semblança (dos angles iguals ja garanteixen la semblança de dos triangles) i al de trigonometria.

Els polígons regulars i els seus angles són la base de les teselacions i del disseny, i la fórmula dels angles interiors és un dels resultats que es demostra amb la descomposició en triangles, que és un bon exemple de com es fa una demostració geomètrica senzilla.

I l'angle inscrit en una semicircumferència connecta la circumferència amb els triangles rectangles, i per tant amb Pitàgores i amb la trigonometria dels dos temes següents.

Ara prova-ho tu. 117 exercicis d'aquest tema, de 4 tipus diferents, per resoldre en línia, de deu en deu: escrius la resposta, te la corregeix a l'instant i, si falles, t'explica com es fa pas a pas. Quan acabis una tanda, en tens deu més, amb dades noves.

Fer els exercicisSimulacre d'examen