Transformacions al pla: translacions, simetries, girs i homotècies

Una transformació mou o canvia de mida una figura seguint una regla. Amb coordenades, cada regla és una fórmula molt simple, i el que realment importa és què conserva cada transformació i què no.

El que has de dominar abans: coordenades, vectors i semblança.

Les fórmules

Translació de vector $(u,v)$:

$$(x, y) \longmapsto (x+u,\ y+v).$$

Simetria respecte de l'eix horitzontal:

$$(x, y) \longmapsto (x,\ -y).$$

Simetria respecte de l'eix vertical:

$$(x, y) \longmapsto (-x,\ y).$$

Simetria respecte de l'origen:

$$(x, y) \longmapsto (-x,\ -y).$$

Gir de $90^{\circ}$ antihorari al voltant de l'origen:

$$(x, y) \longmapsto (-y,\ x).$$

Homotècia de centre l'origen i factor $k \neq 0$:

$$(x, y) \longmapsto (kx,\ ky).$$

Què conserva cada una

Translacions, simetries i girs conserven distàncies i angles. Es diuen isometries: la figura es mou però no canvia ni de forma ni de mida. L'àrea i el perímetre es mantenen exactament.

L'homotècia conserva els angles però no les distàncies. Multiplica les longituds per $|k|$ i les àrees per $k^{2}$: és la semblança del tema G06 escrita amb coordenades. Si $k < 0$, la imatge queda a l'altre costat del centre.

Com transformar una figura

Transforma els vèrtexs i reconstrueix els costats. No cal transformar cap punt intermedi: amb una transformació d'aquestes, els segments es converteixen en segments.

Per comprovar el resultat, calcula una longitud abans i després: amb una isometria ha de coincidir; amb una homotècia, ha de quedar multiplicada per $|k|$.

Vistes de cossos

En representar un cos amb vistes, convé dibuixar també les arestes amagades quan calgui (normalment amb línia discontínua) i comprovar que les diferents projeccions siguin compatibles entre elles: les alçades de la vista frontal i de la lateral han de coincidir.

Exercici resolt: reflectir un punt respecte dels dos eixos

Reflecteix el punt $(3,-2)$ respecte dels dos eixos, per separat.

Respecte de l'eix horitzontal. Canvia el signe de la segona coordenada:

$$(3, -2) \longmapsto (3, 2).$$

Respecte de l'eix vertical. Canvia el signe de la primera:

$$(3, -2) \longmapsto (-3, -2).$$

Comprovació amb el dibuix. Reflectir respecte de l'eix horitzontal fa que el punt passi del quart quadrant al primer: la $x$ es queda igual i la $y$ puja ✓ Reflectir respecte del vertical el porta al tercer quadrant ✓

La regla per no confondre-les. La simetria respecte d'un eix deixa fixa la coordenada d'aquell eix i canvia l'altra. Respecte de l'eix horitzontal, la $x$ no es toca; respecte del vertical, la $y$ no es toca. Pensar-ho així evita intercanviar-les.

I la tercera, de passada. Respecte de l'origen es canvien totes dues:

$$(3,-2) \longmapsto (-3, 2).$$

Això és també el resultat d'aplicar les dues simetries d'eix una darrere l'altra, en qualsevol ordre: aquí sí que l'ordre és indiferent.

Exercici resolt: un gir de noranta graus

Gira el punt $(2,1)$ noranta graus en sentit antihorari respecte de l'origen.

Aplica la fórmula $(x,y) \mapsto (-y, x)$:

$$(2, 1) \longmapsto (-1, 2).$$

Comprovació de la distància a l'origen. Un gir és una isometria, de manera que la distància al centre no pot canviar:

$$d_{\text{abans}} = \sqrt{2^{2}+1^{2}} = \sqrt5, \qquad d_{\text{després}} = \sqrt{(-1)^{2}+2^{2}} = \sqrt5 \quad\checkmark$$

Comprovació del quadrant. El punt original és al primer quadrant. Un gir de $90^{\circ}$ antihorari l'ha de portar al segon quadrant, és a dir amb $x$ negativa i $y$ positiva. I $(-1,2)$ hi és ✓

Com recordar la fórmula sense memoritzar-la. Prova-la amb un punt fàcil: $(1,0)$, que és sobre l'eix horitzontal. Girant $90^{\circ}$ antihorari ha d'anar a $(0,1)$, sobre l'eix vertical. I la fórmula dona $(-0, 1) = (0,1)$ ✓ Si en un examen dubtes de quin signe va on, aquesta prova amb $(1,0)$ ho resol en cinc segons.

El gir en sentit horari. És $(x,y) \mapsto (y, -x)$. Comprovació amb $(1,0)$: hauria d'anar a $(0,-1)$, i la fórmula dona $(0,-1)$ ✓

Un gir de $180^{\circ}$, de passada, és el mateix que la simetria respecte de l'origen: aplicant dues vegades el gir de $90^{\circ}$ s'obté $(x,y) \mapsto (-x,-y)$.

On ho faràs servir

Les transformacions són la base del disseny gràfic i de l'animació per ordinador: moure, girar i escalar una imatge són exactament aquestes operacions, i a batxillerat i a la universitat es representen amb matrius.

A l'art i a l'arquitectura expliquen les simetries dels mosaics i de les rosasses, i la classificació de les teselacions es fa segons quines transformacions les deixen invariants.

I el fet que l'ordre de les transformacions importi és una de les primeres vegades que apareix una operació no commutativa, una idea que a la universitat es retroba amb el producte de matrius i que té conseqüències en tota l'àlgebra.